Question

已知f(x)＝x³－6x²＋9x－abc，a<b<c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：
①f(0)f(1)>0；        ②f(0)f(1)<0；
③f(0)f(3)>0；        ④f(0)f(3)<0.
其中正确结论的序号是________．

Answer 1

②③

∵f′(x)＝3x²－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，
由f′(x)<0，得1<x<3，
由f′(x)>0，
得x<1或x>3，
∴f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数．
又a<b<c，f(a)＝f(b)＝f(c)＝0，
∴y_极大值＝f(1)＝4－abc>0，
y_极小值＝f(3)＝－abc<0.
∴0<abc<4.
∴a，b，c均大于零，或者a<0，b<0，c>0.又x＝1，x＝3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图．

∴f(0)<0.∴f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0.∴正确结论的序号是②③.