Question

已知函数f（x）=

2

x

+alnx-2．
（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=

1

3

x+1垂直，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）求f（x）的导函数f，（x），由y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=

1

3

x+1垂直，得f，（1）=-3，从而得a的值；
（2）a=-1时，f（x）=

2

x

-lnx-2，求f′（x），根据f′（x）的正负，判定f（x）的单调区间．

解答：解：（1）∵f（x）=

2

x

+alnx-2的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=-

2

x2

+

a

x

；
又曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=

1

3

x+1垂直，∴f′（1）=-

2

12

+

a

1

；
∴a=-1，即a的值是-1；
（2）由（1）知，a=-1，∴f（x）=

2

x

-lnx-2，定义域为（0，+∞）；∴f′（x）=-

2

x2

-

1

x

=-

x+2

x2

；
∵x∈（0，+∞），∴f′（x）=-

2

x2

-

1

x

=-

x+2

x2

＜0恒成立；
所以，函数f（x）的单调递减区间是（0，+∞），无增区间．

点评：本题考查了利用导函数研究函数图象上某一点处的切线方程以及根据导函数的正负，判定函数的单调区间问题，是基础题．