Question

(12分)如图7-15，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，各棱长都等于a,D、E分别是AC₁、BB₁的中点，
（1）求证：DE是异面直线AC₁与BB₁的公垂线段，并求其长度；
（2）求二面角E—AC₁—C的大小；
（3）求点C₁到平面AEC的距离。

Answer 1

（1）过D在面AC₁内作FG∥A₁C₁分别交AA₁、CC₁于F、G，则面EFG∥面ABC∥面A₁B₁C₁，
∴△EFG为正三角形，D为FG的中点，ED⊥FG。
连AE， ∵D、E分别为的中点，
∴  。又∵面EFG⊥BB₁，
∴ED⊥BB₁，故DE为AC₁和BB₁的公垂线，计算得DE=a。
（2）∵AC=CC₁，D为AC₁的中点，∴CD⊥AC₁，又由（1）可知，ED⊥AC₁，∴∠CDE为二面角E—AC₁—C的平面角，计算得∠CDE=90°。或由（1）可得DE⊥平面AC₁，∴平面AEC₁⊥平面AC₁，∴二面角E—AC₁—C为90°。
（3）用体积法得点C₁到平面ACE的距离为a。

略