Question

已知f（x）为R上的奇函数，且f（x+1）=-f（x），若存在实数a、b使得f（a+x）=f（b-x），则a、b应满足关系

a+b=1+2k（k∈N^*）

．

Answer 1

分析：利用换元法可得f（t）=f（a+b-t），再利用f（x）为R上的奇函数，f（t-（a+b））=-f（t），f[（t+a+b）-（a+b）]=-f[t+（a+b）]，即f（t+（a+b））=-f（t）=f（t+1），再次换元令x=t+1，则f（x）=f（x+（a+b-1）），结合f（x+2）=f（x）可求得a、b应满足关系．

解答：解：令a+x=t，则x=t-a，f（t）=f（a+b-t），
又f（x）为R上的奇函数，且f（x+1）=-f（x），
∴f（t-（a+b））=-f（t）=f（t+（a+b）），
∴f（t+（a+b））=f（t+1），
再令x=t+1，则f（x）=f（x+（a+b-1）），
由f（x+1）=-f（x）得f（x+2）=f（x），
∴f（x）是以2为周期的函数，∴a+b-1=2k（k∈N*）．
故答案为：a+b=2k+1（k∈N*）．

点评：本题考查函数奇偶性的性质，难点在于合理换元，充分利用函数的奇偶性与周期性解决问题，属于难题．