【题目】已知函数
()当时,求的单调区间和极值.
()若对于任意,都有成立,求的取值范围 ;
()若且证明:
【答案】⑴详见解析;⑵详见解析.
【解析】试题分析:(1)求导数分类讨论①时,②当时,令解得,当时,当写出单调区间及极值.
(2)转化为对于恒成立.分离参数对于恒成立,利用导数求不等式右边的最大值即可.
(3)不妨设则,要证只要证即证因为在区间上单调递增,所以
又即证构造函数函数在区间上单调递增,故而故
所以即所以成立.
试题解析:⑴
①时,因为所以
函数的单调递增区间是,无单调递减区间,无极值;
②当时,令解得,
当时,当
所以函数的单调递减区间是,单调递增区间是,
在区间上的极小值为无极大值.
⑵ 由题意,
即问题转化为对于恒成立.
即对于恒成立,
令,则
令,则
所以在区间上单调递增,故故
所以在区间上单调递增,函数
要使对于恒成立,只要,
所以即实数的取值范围为.
⑶ 因为由⑴知,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,且
不妨设则,
要证只要证即证
因为在区间上单调递增,所以
又即证
构造函数
即
因为,所以即
所以函数在区间上单调递增,故
而故
所以即所以成立.
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【题目】某中学为了解高一年级学生身高发育情况,对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查,测得身高(单位: )频数分布表如表1、表2.
表1:男生身高频数分布表
表2:女生身高频数分布表
(1)求该校高一女生的人数;
(2)估计该校学生身高在的概率;
(3)以样本频率为概率,现从高一年级的男生和女生中分别选出1人,设表示身高在学生的人数,求的分布列及数学期望.
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【题目】如图是七位评委为甲,乙两名参赛歌手打出的分数的茎叶图(其中m,n为数字0~9中的一个),则甲歌手得分的众数和乙歌手得分的中位数分别为a和b,则一定有( )
A.a>b
B.a<b
C.a=b
D.a,b的大小与m,n的值有关
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【题目】已知函数f(x)=cos(ωx+ ),(ω>0,0<φ<π),其中x∈R且图象相邻两对称轴之间的距离为 ;
(1)求f(x)的对称轴方程和单调递增区间;
(2)求f(x)的最大值、最小值,并指出f(x)取得最大值、最小值时所对应的x的集合.
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【题目】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积,满足S= (a2+b2﹣c2).
(1)求角C的大小;
(2)求sinA+sinB的最大值.
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【题目】有三个游戏规则如表,袋子中分别装有形状、大小相同的球,从袋中无放回地取球,
游戏1 | 游戏2 | 游戏3 |
袋中装有3个黑球和2个白球 | 袋中装有2个黑球和2个白球 | 袋中装有3个黑球和1个白球 |
从袋中取出2个球 | 从袋中取出2个球 | 从袋中取出2个球 |
若取出的两个球同色,则甲胜 | 若取出的两个球同色,则甲胜 | 若取出的两个球同色,则甲胜 |
若取出的两个球不同色,则乙胜 | 若取出的两个球不同色,则乙胜 | 若取出的两个球不同色,则乙胜 |
问其中不公平的游戏是( )
A.游戏2
B.游戏3
C.游戏1和游戏2
D.游戏1和游戏3
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【题目】(12分)已知椭圆C:(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, ),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:l过定点.
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【题目】如图,在四棱锥P—ABCD中,平面PAD⊥底面ABCD,其中底面ABCD为等腰梯形,AD∥BC,PA=AB=BC=CD=2,PD=2,PA⊥PD,Q为PD的中点.
(Ⅰ)证明:CQ∥平面PAB;
(Ⅱ)求直线PD与平面AQC所成角的正弦值.
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【题目】张先生知道清晨从甲地到乙地有好、中、差三个班次的客车.但不知道具体谁先谁后.他打算:第一辆看后一定不坐,若第二辆比第一辆舒服,则乘第二辆;否则坐第三辆.问张先生坐到好车的概率和坐到差车的概率分别是( )
A. 、
B. 、
C. 、
D. 、
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