Question

17．已知点M是椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$上一动点，椭圆E的左、右焦点分别为F₁（-c，0）、F₂（c，0），离心率为e．
（Ⅰ）若$e=\frac{1}{2}$且|MF₁|+|MF₂|=4；
（i）求椭圆E的方程；
（ii）设点M到直线x=4的距离为d₁，则比值$\frac{{|M{F_2}|}}{d_1}$是否为定值？若是求出该定值，若不是，说明理由．
（Ⅱ）若点M到直线$x=\frac{a^2}{c}$的距离为d₂，类比（1）中的（ii），则比值$\frac{{|M{F_2}|}}{d_2}$是否为定值？若是，写出该定值．（不要求书写求解或证明过程）

Answer 1

分析 （Ⅰ）（i）通过椭圆定义即得结论；（ii）通过设点M的坐标为（x₀，y₀），利用点到直线的距离公式、两点间距离公式代入化简即得结论；
（Ⅱ）类比可知$\frac{{|M{F_2}|}}{d_2}$为离心率．

解答 解：（Ⅰ）（i）由题意得$\left\{\begin{array}{l}2a=4\\ \frac{c}{a}=\frac{1}{2}\end{array}\right.$…（1分）
解得：a=2，c=1…（2分）
∴b²=a²-c²=3，
∴椭圆E的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…（4分）
（ii）设点M的坐标为（x₀，y₀），
则$\frac{x_0^2}{4}+\frac{y_0^2}{3}=1$，d₁=|x₀-4|，$|M{F_2}|=\sqrt{{{（{x_0}-1）}^2}+y_0^2}$…（7分）
∴$\frac{{|M{F_2}|}}{d_1}=\frac{{\sqrt{{{（{x_0}-1）}^2}+y_0^2}}}{{|{x_0}-4|}}=\frac{{\sqrt{{{（{x_0}-1）}^2}+3（1-\frac{x_0^2}{4}）}}}{{|{x_0}-4|}}=\frac{{\sqrt{\frac{1}{4}x_0^2-2{x_0}+4}}}{{|{x_0}-4|}}=\frac{{\frac{1}{2}\sqrt{{{（{x_0}-4）}^2}}}}{{|{x_0}-4|}}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{|M{F_2}|}}{d_1}$为定值$\frac{1}{2}$…（10分）
（Ⅱ）$\frac{{|M{F_2}|}}{d_2}$为定值e（或$\frac{c}{a}$）．     …（12分）

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．