Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，∠BAD=∠ABC=90°，SA=AB=AD=

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BC=1，E为SD的中点．
（1）若F为底面BC边上的一点，且BF=

1

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BC，求证：EF∥平面SAB；
（2）底面BC边上是否存在一点G，使得二面角S-DG-A的正切值为

2

？若存在，求出G点位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）取SA的中点H，连接EH，BH，根据HE∥AD，BF∥AD，且HE=

1

2

AD，BF=

1

2

AD可得四边形EFBH为平行四边形，则EF∥BH，BH?平面SAB，EF?平面SAB，根据线面平行的判定定理可知EF∥平面SAB．
（2）假设存在点G，满足题设条件，过A作AI⊥DG于I，由三垂线定理得SI⊥DG，并设二面角S-DG-A的大小为α，根据题意可知tanα=

SA

AI

=

2

，即AI=

2

2

，又AD=1，故∠ADG=45°或∠ADG=135°，讨论两种情形，可得结论．

解答：解：（1）取SA的中点H，连接EH，BH．
由HE∥AD，BF∥AD，且HE=

1

2

AD，BF=

1

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AD．
∴EF∥BH，BF=HE，
∴四边形EFBH为平行四边形．
∴EF∥BH，BH?平面SAB，EF?平面SAB，
∴EF∥平面SAB．（6分）

（2）假设存在点G，满足题设条件，过A作AI⊥DG于I，
由三垂线定理得SI⊥DG，并设二面角S-DG-A的大小为α．
则tanα=

SA

AI

=

2

，
∴AI=

2

2

，
又AD=1，故∠ADG=45°或∠ADG=135°，
若∠ADG=45°，则G与B点重合；
若∠ADG=135°，则BG=AD+AB=2，
故存在点G与B重合或BG=

2

3

BC满足题设．

点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a?α，a?，a∥α??a∥β）．