Question

已知△ABC中，D、E分别为边BC、AC的中点，AD、BE交于点G，

BM

=λ

ME

，

DN

=μ

NA

，其中λ，μ＞0，

MN

=t

BC

(t∈R)，S_△ABC=1，则S_△GMN的取值范围是（　　）

• A．（0，

  1

  24

  ）
• B．（

  1

  24

  ，

  1

  6

  ）
• C．（

  1

  6

  ，1）
• D．（0，

  1

  6

  ）

Answer 1

分析：根据D、E分别为边BC、AC的中点，AD、BE交于点G可得G为重心利用重心的性质可求出

S△BDG

S△ABC

=

1 2 ×BD×GF

1 2 ×BC×AH

=

1

6

再根据S_△ABC=1可求出S△BDG=

1

6

再结合条件

MN

=t

BC

(t∈R)可得出

S△GMN

S△GBD

=(2t)2= 4t2从而可求出s△GMN=

2

3

t2下面只需求出t的范围即可而

BM

=λ

ME

，

DN

=μ

NA

且λ，μ＞0可知M不可能与E重合所以0＜t＜

1

2

即可求出S_△GMN的取值范围．

解答：解：∵D、E分别为边BC、AC的中点，AD、BE交于点G
∴G为三角形ABC的重心
过G作GF⊥BC于F，AH⊥BC于H
则Rt△GDE∽Rt△ADF
∴

GF

AH

=

GD

AD

=

1

3

∴

S△BDG

S△ABC

=

1 2 ×BD×GF

1 2 ×BC×AH

=

1

6

∵S_△ABC=1
∴S△BDG=

1

6

∵

MN

=t

BC

(t∈R)
∴MN∥BD且

MN

BD

= 2t
∴

S△GMN

S△GBD

=(2t)2= 4t2
∴s△GMN=

2

3

t2
∵

BM

=λ

ME

，

DN

=μ

NA

其中λ，μ＞0
∴M不可能与E重合
∵

MN

=t

BC

(t∈R)
∴MN∥BD
∵

AE

AC

=

1

2

∴0＜t＜

1

2

，
∴0＜t²＜

1

4

∴0＜

2

3

t2＜

1

6

∴0＜S_△GMN＜

1

6

故选D

点评：本题主要考查了向量的数乘以及向量的几何意义．解题的关键是根据重心的性质结合S_△ABC=1和

MN

=t

BC

(t∈R)求出s△GMN=

2

3

t2，但根据

BM

=λ

ME

，

DN

=μ

NA

且λ，μ＞0可知M不可能与E重合求出0＜t＜

1

2

则是最为重要的！