椭圆的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),过F1作与x轴不重合的直线l交椭圆于A,B两点.
(Ⅰ)若ΔABF2为正三角形,求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若椭圆的离心率满足,0为坐标原点,求证
为钝角.
(Ⅰ);(Ⅱ)见解析.
解析试题分析:(Ⅰ)由椭圆定义易得为边
上的中线,在
中,可得
,即得椭圆的离心率;(Ⅱ)设
,
,由
,
,先得
,再分两种情况讨论,①是当直线
轴垂直时;②是当直线
不与
轴垂直时,都证明
,可得结论.
试题解析:由椭圆的定义知,
周长为
,
因为为正三角形,所以
,
,
为边
上的高线, 2分
,∴椭圆的离心率
. 4分
(Ⅱ)设,
因为
,
,所以
6分
①当直线轴垂直时,
,
,
,
=
, 因为
,所以
,
为钝角. 8分
②当直线不与
轴垂直时,设直线
的方程为:
,代入
,
整理得:,
,
10分
令, 由 ①可知
,
恒为钝角. 12分
考点:1、椭圆的定义及性质;2、直线与椭圆相交的综合应用;3、向量的数量积的坐标运算.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知,椭圆C过点,两个焦点为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2) 是椭圆C上的两个动点,如果直线
的斜率与
的斜率互为相反数,证明直线
的斜率为定值,并求出这个定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,已知椭圆
的左焦点为
,且椭圆
的离心率
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的上下顶点分别为
,
是椭圆
上异于
的任一点,直线
分别交
轴于点
,证明:
为定值,并求出该定值;
(3)在椭圆上,是否存在点
,使得直线
与圆
相交于不同的两点
,且
的面积最大?若存在,求出点
的坐标及对应的
的面积;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知曲线的参数方程为
是参数
,
是曲线
与
轴正半轴的交点.以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,求经过点
与曲线
只有一个公共点的直线
的极坐标方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知在直角坐标系中,曲线
的参数方程为:
(
为参数),在极坐标系(与直角坐标系
取相同的长度单位,且以原点
为极点,以
轴正半轴为极轴)中,直线
的极坐标方程为:
.
(Ⅰ)写出曲线和直线
在直角坐标系下的方程;
(II)设点是曲线
上的一个动点,求它到直线
的距离的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知分别是椭圆
的左、右顶点,点
在椭圆
上,且直线
与直线
的斜率之积为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)如图,已知是椭圆
上不同于顶点的两点,直线
与
交于点
,直线
与
交于点
.① 求证:
;② 若弦
过椭圆的右焦点
,求直线
的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
给定椭圆:
,称圆心在原点
,半径为
的圆是椭圆
的“准圆”.若椭圆
的一个焦点为
,且其短轴上的一个端点到
的距离为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程和其“准圆”方程;
(Ⅱ)点是椭圆
的“准圆”上的一个动点,过动点
作直线
,使得
与椭圆
都只有一个交点,试判断
是否垂直,并说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆,抛物线
的焦点均在
轴上,
的中心和
的顶点均为原点
,每条曲线上取两个点,将其坐标记录于表中:
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知椭圆,
是长轴的左、右端点,动点
满足
,联结
,交椭圆于点
.
(1)当,
时,设
,求
的值;
(2)若为常数,探究
满足的条件?并说明理由;
(3)直接写出为常数的一个不同于(2)结论类型的几何条件.
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