Question

定义在实数集R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=Ax+B（A，B为常数）使得f（x）≥g（x）对任意的x∈R都成立，则称g（x）为函数f（x）的一个承托函数，则下列说法正确的是（　　）

• A、函数f（x）=x²-2x不存在承托函数
• B、g（x）=x为函数f（x）=sinx的一个承托函数
• C、g（x）=x为函数f（x）=e^x-1的一个承托函数
• D、函数f(x)=

  2x

  x2-x+1

  不存在承托函数

Answer 1

分析：函数g（x）=Ax+B（A，B为常数）是函数f（x）的一个承托函数，即说明函数f（x）的图象恒在函数g（x）的上方（至多有一个交点）A、g（x）=-1是函数f（x）=x²-2x的一个承托函数；故A做；B、举例可以说明，当x=

π

2

时，可知f（x）＜g（x），可知结论错误；C、要说明g（x）=x为函数f（x）=e^x-1的一个承托函数；即证明F（x）=e^x-x-1的图象恒在x轴上方；④g（x）=-1是函数f(x)=

2x

x2-x+1

的一个承托函数，因此D错．

解答：解：A、令g（x）=-1，则总有f（x）≥g（x）对任意的x∈R都成立，因此g（x）=-1是函数f（x）=x²-2x的一个承托函数，故A错；
B、令x=

π

2

，则g（

π

2

）=

π

2

＞f（

π

2

）=1，因此g（x）=x不是函数f（x）=sinx的一个承托函数，故B错；
C、令F（x）=e^x-x-1，F′（x）=e^x-1=0，得x=0，
当x＜0时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，
当x＞0时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，
∴当x=0时，F（x）取最小值：0，
即F（x）=e^x-x-1≥0恒成立，即f（x）≥g（x）恒成立，故C正确；
D、令g（x）=-1，则f(x)-g(x)=

2x

x2-x+1

+1=f(x)=

x2+x +1

x2-x+1

＞0，
∴总有f（x）≥g（x）对任意的x∈R都成立，因此g（x）=-1是函数f(x)=

2x

x2-x+1

的一个承托函数，故D错；
故选C．

点评：本题是以抽象函数为承托，考查学生的创新能力，属中档题，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．