Question

7．已知集合D={（x₁，x₂）|x₁＞0，x₂＞0，x₁+x₂=2}，设u=x₁x₂．
（1）求u的取值范围．
（2）若（x₁，x₂）∈D，求（$\frac{1}{{x}_{1}}$-x₁）（$\frac{1}{{x}_{2}}$-x₂）的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式，其中和为定值，积有最大值；
（2）先化简，确定函数的单调性，即可求（$\frac{1}{{x}_{1}}$-x₁）（$\frac{1}{{x}_{2}}$-x₂）的最大值．

解答 解：（1）∵x₁+x₂=2，
∴u=x₁x₂≤$（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）^{2}$=1
当且仅当x₁=x₂=1时等号成立，
故u的取值范围为（0，1]．
（2）（$\frac{1}{{x}_{1}}$-x₁）（$\frac{1}{{x}_{2}}$-x₂）=$\frac{1}{u}$+u-$\frac{4-2u}{u}$=u-$\frac{3}{u}$+2，
令y=u-$\frac{3}{u}$，则y′=1+$\frac{3}{{u}^{2}}$＞0，
∴函数y=u-$\frac{3}{u}$在（0，1]上单调递增，
∴u=1时，（$\frac{1}{{x}_{1}}$-x₁）（$\frac{1}{{x}_{2}}$-x₂）的最大值为0．

点评 本题考查不等式的综合应用，以及利用转化思想、函数思想转化为函数问题利用函数的单调性解决不等式问题，属于中档题．