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已知函数f(x)=ekx(k是不为零的实数,e为自然对数的底数).
(1)若曲线y=f(x)与y=x2有公共点,且在它们的某一公共点处有共同的切线,求k的值;
(2)若函数h(x)=f(x)(x2-2kx-2)在区间内单调递减,求此时k的取值范围.
【答案】分析:(1)设切点坐标,再代入两个解析式建立方程①,再由在切点处导数值相等列出方程②,联立方程求解;
(2)由题意求出h(x)解析式,再求出此函数的导数,根据区间关系求出k的范围,再对k分类:k<-1时和0<k<1时,再由条件和导数与函数单调性关系,分别列出等价条件,求出k的范围,最后并在一起.
解答:解:(1)设曲线y=f(x)与y=x2有共同切线的公共点为P(x,y),
          ①,
又∵y=f(x)与y=x2在点P(x,y)处有共同切线,
且f′(x)=kekx,(x2)′=2x,
     ②,
由①②解得,.                   
(2)由f(x)=ekx得,函数h(x)=(x2-2kx-2)ekx
∴(h(x))′=[kx2+(2-2k2)x-4k]ekx
==.              
又由区间知,
解得0<k<1,或k<-1.             
①当0<k<1时,
由(h(x))'=,得
即函数h(x)的单调减区间为
要使h(x)=f(x)(x2-2kx-2)在区间内单调递减,
则有,解得.                                 
②当k<-1时,
由(h(x))'=,得x<2k或
即函数h(x)的单调减区间为(-∞,2k)和
要使h(x)=f(x)(x2-2kx-2)在区间内单调递减,
则有,或
这两个不等式组均无解.
综上,当时,
函数h(x)=f(x)(x2-2kx-2)在区间内单调递减.
点评:本题考查了导数的几何意义,导数与函数的单调性关系,查了分类讨论思想和转化思想.
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