Question

已知函数f（x）=e^kx（k是不为零的实数，e为自然对数的底数）．
（1）若曲线y=f（x）与y=x²有公共点，且在它们的某一公共点处有共同的切线，求k的值；
（2）若函数h（x）=f（x）（x²-2kx-2）在区间内单调递减，求此时k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设切点坐标，再代入两个解析式建立方程①，再由在切点处导数值相等列出方程②，联立方程求解；
（2）由题意求出h（x）解析式，再求出此函数的导数，根据区间关系求出k的范围，再对k分类：k＜-1时和0＜k＜1时，再由条件和导数与函数单调性关系，分别列出等价条件，求出k的范围，最后并在一起．
解答：解：（1）设曲线y=f（x）与y=x²有共同切线的公共点为P（x，y），
则          ①，
又∵y=f（x）与y=x²在点P（x，y）处有共同切线，
且f′（x）=ke^kx，（x²）′=2x，
∴     ②，
由①②解得，．                   
（2）由f（x）=e^kx得，函数h（x）=（x²-2kx-2）e^kx，
∴（h（x））′=[kx²+（2-2k²）x-4k]e^kx
==．              
又由区间知，，
解得0＜k＜1，或k＜-1．             
①当0＜k＜1时，
由（h（x））'=，得，
即函数h（x）的单调减区间为，
要使h（x）=f（x）（x²-2kx-2）在区间内单调递减，
则有，解得．                                 
②当k＜-1时，
由（h（x））'=，得x＜2k或，
即函数h（x）的单调减区间为（-∞，2k）和，
要使h（x）=f（x）（x²-2kx-2）在区间内单调递减，
则有，或，
这两个不等式组均无解．
综上，当时，
函数h（x）=f（x）（x²-2kx-2）在区间内单调递减．
点评：本题考查了导数的几何意义，导数与函数的单调性关系，查了分类讨论思想和转化思想．