Question

某市为了解决交通拥堵问题，一方面改建道路、加强管理，一方面控制汽车总量增长．交管部门拟从2012年1月起，在一段时间内，对新车上牌采用摇号（类似于抽签）的方法进行控制，制定如下方案：①每月进行一次摇号，从当月所有申请用户以及以前没有摇到号的申请用户中，摇出当月上牌的用户，摇到叼的用户不再参加以后的摇号；②当月没有摇到号的申请者自动加入下一个月的摇号，不必也不能重复申请．预计2012年1月申请车牌的用户有10a个，以后每个月又有a个新用户申请车牌；计划2012年1月车牌a个，以后每月发放车牌数比上月增加5%，以2012年1月为第一个月，设前n（n∈N^*）个月申请车牌用户的总数为a_n，前n个月发放车牌的总数为b_n，使得a_n＞b_n成立的最大正整数为n₀．（参考数据：1.05¹⁶=2.18，1.05¹⁷=2.29，1.05¹⁸=2.41）
（1）求a_n，b_n关于n的表达式，直接写出n₀的值，说明n₀的实际意义；
（2）当n≤n₀，n∈N^*时，设第n个月中签率为．
（第n个月中签率=）

Answer 1

解：（1）前n个月申请车牌用户的总数为a_n=10a+（n-1）a=（n+9）a，
前n个月发放车牌的总数为b_n==20（1.05ⁿ-1）a；
由a_n＞b_n得，n₀=17；这说明第17个月以后，该项政策可以取消，不需要摇号就可以直接上牌．
（2）由题意，当n=1时，y₁=；
当1＜n≤17时，y_n==，∴y_n=（n∈N^*，n≤17）；
当2≤n≤17时，-=-==＜0，∴＜，∵n∈N^*，且n≤17时，a_n＜b_n，∴a_n-a_n-1＞b_n-b_n-1＞0，∴0＜y_n＜1，∴y_n＞y_n-1；
所以y₁＜y₂＜…＜y₁₇，又y₁=，所以≤y_n＜1．
分析：（1）前n个月申请车牌用户的总数a_n是等差数列，前n个月发放车牌的总数为b_n是等比数列，求出通项；由a_n＞b_n求得n₀的值即可；
（2）由题意，n=1时，y₁=，1＜n≤17时，y_n=，则计算-＜0，得＜，从而得n≤17时，a_n＜b_n，即a_n-a_n-1＞b_n-b_n-1＞0，得0＜y_n＜1，由y_n＞y_n-1≥y₁=，所以≤y_n＜1．
点评：本题考查了等差、等比数列的综合运用，也考查了数列与函数、不等式的应用；解题时细心作答，以免出错．