Question

15．已知f（x）=x³+3ax²+bx+a²（a＞1）在x=-1时有极值0．
（1）求常数 a，b的值；  
（2）求f（x）的单调区间．
（3）方程f（x）=c在区间[-4，0]上有三个不同的实根时实数c的范围．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=3x²+6ax+b，利用函数的极值点，列出方程组求解即可．
（2）求出导函数f′（x）=3x²+12x+9=3（x+3）（x+1），求出极值点，列表判断导函数的符号，推出函数的单调性，求解函数的单调区间．
（3）利用函数的极值，求解c的范围即可．

解答 解：（1）f（x）=x³+3ax²+bx+a²（a＞1）可得f′（x）=3x²+6ax+b，
由题x=-1时有极值0，可得：$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=0}\\{f（1）=0}\end{array}\right.$，即：$\left\{\begin{array}{l}{3-6a+b=0}\\{-1+3a-b+{a}^{2}=0}\end{array}\right.$…（2分）
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=3\end{array}\right.$（舍去）或$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=9\end{array}\right.$…（4分）
（2）当a=2，b=9时，f（x）=3x²+12x+9=3（x+3）（x+1）
故方程f（x）=0有根x=-3或x=-1…（6分）

x	（-∞，-3）	-3	（-3，-1）	-1	（-1，+∞）
f（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

由表可见，当x=-1时，f（x）有极小值0，故$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=9\end{array}\right.$符合题意      …（8分）
由上表可知：f（x）的减函数区间为（-3，-1）f（x）的增函数区间为（-∞，-3）或（-1，+∞）…（10分）
（3）因为f（-4）=0，f（-3）=4，f（-1）=-1，f（0）=4，
由函数的连续性以及函数的单调性可得0＜c＜4．                               …（12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，考查函数的单调性以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力．