Question

设函数f（x）的定义域为D，如果对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得

f(x1)+f(x2)

2

=C成立（其中C为常数），则称函数y=f（x）在D上的约算术均值为C，则下列函数在其定义域上的算术均值可以为2的函数是（　　）

A．y=x²

B．y=4sinx

C．y=lnx

D．y=2^x

Answer 1

分析：本题可转化为关于x₂的方程是否存在唯一解问题，先直接根据选项建立方程f（x₁）+f（x₂）=4，然后判断是否存在唯一的解，从而得到正确选项．

解答：解：由题意可得，均值为2，则

f(x1)+f(x2)

2

=2即f（x₁）+f（x₂）=4，转化为关于x₂的方程是否存在唯一解问题．
A任意的x₁∈R，关于x₂的方程x₁²+x₂²=4，当x₁＞2时，一定无解；
B任意的x₁∈R，关于x₂的方程4sinx₁+4sinx₂=4，即sinx₁+sinx₂=1，当sinx₁＜0时，一定无解；
C任意的x₁∈（0，+∞），关于x₂的方程lnx₁+lnx₂=4，一定有唯一解；
D任意的x₁∈R，关于x₂的方程2x1+2x2=4，当2x1＞4时，一定无解．
故选C．

点评：本题主要考查了函数的新定义，解决问题的关键是要根据已知定义，把题中的定义进行转化，要求考生具备阅读转化的能力，属于中档题．