Question

设a∈R，若x＞0时均有[（a-1）x-1](x2-

3

2

x-1)≥0，则a=

 

．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：因为x＞0，分类讨论，（1）a=1；（2）a≠1，在x＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间，在各自的区间内恒正或恒负，即可得到结论．

解答： 解：（1）a=1时，代入不等式，x＞0不等式明显不成立．
（2）a≠1，构造函数y₁=（a-1）x-1，y₂=(x2-

3

2

x-1)，它们都过定点P（0，-1）．
考查函数y₁=（a-1）x-1，令y=0，得M（

1

a-1

，0），因为x＞0，不等式成立；
∴a＞1；
考查函数y₂=x ²-

3

2

x-1，因为x＞0时均有[（a-1）x-1](x2-

3

2

x-1)≥0，显然此函数过点M（

1

a-1

，0），代入得：(

1

a-1

)2-

3

2

×

1

a-1

-1=0，
解之得：a=

3

2

，或a=0（舍去）．
故答案为：

3

2

．

点评：本题考查不等式恒成立问题，解题的关键是构造函数，利用函数的性质求解．