Question

已知抛物线C：y²=4x，过点A（x₀，0）（其中x₀为常数，且x₀＞0）作直线l交抛物线于P，Q（点P在第一象限）；
（1）设点Q关于x轴的对称点为D，直线DP交x轴于点B，求证：B为定点；
（2）若x₀=1，M₁，M₂，M₃为抛物线C上的三点，且△M₁M₂M₃的重心为A，求线段M₂M₃所在直线的斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出直线PD的方程，令y=0，求出x，设l：y=k（x-x₀），代入抛物线方程，化简即可得到结论；
（2）设lM1M2：y=kx+m，代入抛物线方程，利用韦达定理及重心坐标，求出M₁的坐标，利用M₁在抛物线y²=4x上，即可求得结论．

解答：（1）证明：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则D（x₂，-y₂），直线PD的方程为y-y1=

y1+y2

x1-x2

(x-x1)，
令y=0，x=

x2y1+x1y2

y1+y2

=

y22 4 •y1+ y12 4 •y2

y1+y2

=

y1y2

4

，
设l：y=k（x-x₀），代入抛物线方程，得到ky²-4y-4kx₀=0，∴y₁y₂=-4x₀
∴x=x₀，即B（x₀，0）为定点；
（2）解：A（1，0），设lM1M2：y=kx+m，M₁（x₁′，y₁′），M₂（x₂′，y₂′），M₃（x₃′，y₃′），M₂M₃中点E（x_E′，y_E′），
lM1M2：y=kx+m代入抛物线方程，可得k²x²+（2km-4）x+m²=0，
∴x₁′+x₂′=

4-2km

k2

，
∴y₁′+y₂′=

4

k

，
∴E（

2-km

k2

，

2

k

），
∵2

EF

=

FM1

，∴M₁（3-

4-2km

k2

，-

4

k

），
∵M₁在抛物线y²=4x上，
∴

16

k2

=4(3-

4-2km

k2

)
∴3k²+2km=8，
又△＞0得16-16km＞0，∴km＜1，
∴2km=8-3k²＜2，
∴k²＞2，
∴k＞

2

或k＜-

2

．

点评：本题考查直线恒过定点，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．