Question

关于曲线x³-y³+9x²y+9xy²=0，有下列命题：
①曲线关于原点对称；
②曲线关于x轴对称；
③曲线关于y轴对称；
④曲线关于直线y=x对称；
其中正确命题的序号是

①

．

Answer 1

分析：设（a，b）点在曲线上，则（a，b）点满足方程x³-y³+9x²y+9xy²=0，然后判定（a，-b），（-a，b），（-a，-b），（b，a）是否在曲线x³-y³+9x²y+9xy²=0上，从而得到结论．

解答：解：若（a，b）点在曲线C：x³-y³+9x²y+9xy²=0上，则a³-b³+9a²b+9ab²=0，
令x=a，y=-b，则a³+b³-9a²b+9ab²=0，故点（a，-b）不在曲线C上，即不关于x轴对称；
令x=-a，y=b，则-a³-b³+9a²b-9ab²=0，故点（-a，b）不在曲线C上，即不关于y轴对称；
令x=-a，y=-b，则-a³+b³-9a²b-9ab²=0，即a³-b³+9a²b+9ab²=0，故点（-a，-b）在曲线C上，即关于原点对称；
令x=b，y=a，则b³-a³+9a²b+9ab²=0，故点（b，a）不在曲线C上，即不关于直线y=x对称；
其中正确命题的序号是 ①．
故答案为：①．

点评：本题主要考查的知识点是曲线的对称性，当（a，b）点在曲线上时，（-a，-b）点也在曲线上，则曲线关于原点对称；当（a，b）点在曲线上时，（-a，b）点也在曲线上，则曲线关于y轴对称；当（a，b）点在曲线上时，（a，-b）点也在曲线上，则曲线关于x轴对称；当（a，b）点在曲线上时，（b，a）点也在曲线上，则曲线关于直线x-y=0对称；当（a，b）点在曲线上时，（-b，-a）点也在曲线上，则曲线关于直线x-y=0对称，属于基础题．