Question

【题目】如图：在四棱锥E﹣ABCD中，CB=CD=CE=1，AB=AD=AE= ，EC⊥BD，底面四边形是个圆内接四边形，且AC是圆的直径．

（1）求证：平面BED⊥平面ABCD；
（2）点P是平面ABE内一点，满足DP∥平面BEC，求直线DP与平面ABE所成角的正弦值的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：连接AC，BD，交于点O，连接EO，

∵AD=AB，CD=CB∴AC⊥BD，

又∵EC⊥DB，EC∩AC=C，故DB⊥面AEC，从而 BD⊥OE，

又AC是直径∴∠ADC=∠ABC=90°，

由AD= ，CD=1可解得，AO= ，则 ，故EO⊥AC；

故EO⊥平面ABCD，平面BED⊥平面ABCD．…

（2）取AE的中点M，AB的中点N，连接MN，ND，

则MN∥BE，且MN平面EBC，∴MN∥平面EBC；

而DN⊥AB，BC⊥AB，∴DN∥BC，且DN平面EBC，∴DN∥平面EBC．

综上所述，平面DMN∥平面EBC，∴点P在线段MN上．

如图建立空间直角坐标系，则A（ ，0，0），B（0， ，0），E（0，0， ），

=（﹣ ， ，0）， =（﹣ ，0， ），

设平面ABE法向量为 =（x，y，z），则

取 =（1， ， ），

设 =λ ，可得 = + =（ ， ， img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2018/02/23/23/7c5b8fc1/SYS201802232334452629765028_DA/SYS201802232334452629765028_DA.016.png" width="51" height="34" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" /> ），

设直线DP与平面ABE所成角为θ，则sinθ= ．

∵0≤λ≤1∴当λ=0时，sinθ的最大值为 ．

【解析】（1）由题意可推导出AC⊥BD从而 BD⊥OE，由此能证明直线EO⊥平面ABCD即可得证。（2）根据题意作出辅助线可得出点P在线段MN上建立空间直角坐标系，求出各个点的坐标进而也可求出各个向量的坐标再找出平面ABE的法向量，利用向量法求出即可。
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面垂直的判定的相关知识，掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直，以及对空间角的异面直线所成的角的理解，了解已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．