Question

【题目】一位幼儿园老师给班上k（k≥3）个小朋友分糖果．她发现糖果盒中原有糖果数为a0，就先从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的分给第一个小朋友；再从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的分给第二个小朋友；…，以后她总是在分给一个小朋友后，就从别处抓2块糖放入盒中，然后把盒内糖果的分给第n（n=1，2，3，…k）个小朋友．如果设分给第n个小朋友后（未加入2块糖果前）盒内剩下的糖果数为an．

（1）当k=3，a0=12时，分别求a1，a2，a3；

（2）请用an-1表示an；令bn=（n+1）an，求数列{bn}的通项公式；

（3）是否存在正整数k（k≥3）和非负整数a0，使得数列{an}（n≤k）成等差数列，如果存在，请求出所有的k和a0，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）a1=7，a2=6，a3=6 （2）an=（an-1+2），bn=n（n+1）+a0 （3）存在，当a0=0时，an=n，对任意正整数k（k≥3），有{an}（n≤k）成等差数列．

【解析】

（1）由题意知：an＝（an﹣1+2）（an﹣1+2），将k＝3，a0＝12代入可得a1，a2，a3；

（2）将an＝（an﹣1+2）（an﹣1+2）变形得（n+1）an＝n（an﹣1+2）＝nan﹣1+2n，即bn﹣bn﹣1＝2n，利用累加法可得bn﹣b0＝n（n+1），进而得到数列{bn}的通项公式；

（3）由（2）得an＝n，根据等差数列满足a1+a3＝2a2，代入求出a0＝0，an＝n时，满足条件．

（1）当k＝3，a0＝12时，

a1＝（a0+2）（a0+2）＝7，

a2＝（a1+2）（a1+2）＝6，

a3＝（a2+2）（a0+2）＝6，

（2）由题意知：an＝（an﹣1+2）（an﹣1+2）（an﹣1+2），

即（n+1）an＝n（an﹣1+2）＝nan﹣1+2n，

∵bn＝（n+1）an，

∴bn﹣bn﹣1＝2n，

∴bn﹣1﹣bn﹣2＝2n﹣2，

…

b1﹣b0＝2，

累加得bn﹣b0n（n+1）

又∵b0＝a0，

∴bn＝n（n+1）+a0，

（3）由bn＝n（n+1）+a0，得an＝n，

若存在正整数k（k≥3）和非负整数a0，使得数列{an}（n≤k）成等差数列，

则a1+a3＝2a2

即（1a0）+3a0＝2（2a0）

∴a0＝0

即当a0＝0时，an＝n，对任意正整数k（k≥3），有{an}（n≤k）成等差数列．