Question

(2009湖南卷理)（本小题满分13分）

对于数列若存在常数M＞0,对任意的，恒有     

            

则称数列为B-数列

（1）       首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;

请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题

判断所给命题的真假，并证明你的结论；

（2）       设是数列的前项和，给出下列两组论断；

A组：①数列是B-数列      ②数列不是B-数列

B组：③数列是B-数列      ④数列不是B-数列

请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。

判断所给命题的真假，并证明你的结论；

（3） 若数列都是数列，证明：数列也是数列。

Answer 1

解析：（1）设满足题设的等比数列为,则，于是

      

因此｜- ｜+｜-｜+…+｜-｜=

因为所以即           

    

   故首项为1，公比为的等比数列是B-数列。

（2）命题1：若数列是B-数列，则数列是B-数列

      次命题为假命题。

     事实上，设，易知数列是B-数列，但

                     

由的任意性知，数列是B-数列此命题为。

命题2：若数列是B-数列，则数列是B-数列

此命题为真命题

事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的有

                    

即。于是

       

所以数列是B-数列。

（III）若数列 {}是数列，则存在正数，对任意的有

  

注意到

  

同理：            

记，则有

因此 

      +

故数列是数列