Question

(本小题满分13分)如图，在直三棱柱ABC—中， AB = 1,

；点D、E分别在上，且，

四棱锥与直三棱柱的体积之比为3：5。

（1）求异面直线DE与的距离；

（2）若BC =，求二面角的平面角的正切值。

 

Answer 1

解法一：（Ⅰ）因，且，故面，

从而，又，故是异面直线与的公垂线．

设的长度为，则四棱椎的体积为

．

而直三棱柱的体积为．

由已知条件，故，解之得．

从而．

在直角三角形中，，

又因，

故．

（Ⅱ）如答（19）图1，过作，垂足为，连接，因，，故面．

由三垂线定理知，故为所求二面角的平面角．

在直角中，，

又因，

故，所以．

解法二：

（Ⅰ）如答（19）图2，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，则，．

设，则，

又设，则，

从而，即．

又，所以是异面直线与的公垂线．

下面求点的坐标．

设，则．

因四棱锥的体积为

．

而直三棱柱的体积为．

由已知条件，故，解得，即．

从而，，．

接下来再求点的坐标．

由，有，即      （1）

又由得．     （2）

联立（1），（2），解得，，即，得．

故．

（Ⅱ）由已知，则，从而，过作，

垂足为，连接，

设，则，因为，故

……………………………………①

因且得，即

……………………………………②

联立①②解得，，即．

则，．

．

又，故，

因此为所求二面角的平面角．又，从而，

故，为直角三角形，所以．

解析:

解法一：（Ⅰ）因，且，故面，

从而，又，故是异面直线与的公垂线．

设的长度为，则四棱椎的体积为

．

而直三棱柱的体积为．

由已知条件，故，解之得．

从而．

在直角三角形中，，

又因，

故．

（Ⅱ）如答（19）图1，过作，垂足为，连接，因，，故面．

由三垂线定理知，故为所求二面角的平面角．

在直角中，，

又因，

故，所以．

解法二：

（Ⅰ）如答（19）图2，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，则，．

设，则，

又设，则，

从而，即．

又，所以是异面直线与的公垂线．

下面求点的坐标．

设，则．

因四棱锥的体积为

．

而直三棱柱的体积为．

由已知条件，故，解得，即．

从而，，．

接下来再求点的坐标．

由，有，即      （1）

又由得．     （2）

联立（1），（2），解得，，即，得．

故．

（Ⅱ）由已知，则，从而，过作，

垂足为，连接，

设，则，因为，故

……………………………………①

因且得，即

……………………………………②

联立①②解得，，即．

则，．

．

又，故，

因此为所求二面角的平面角．又，从而，

故，为直角三角形，所以．