如图,四棱锥中,侧面是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为的中点.
(Ⅰ)求与底面所成角的大小;
(Ⅱ)求证:平面;
(Ⅲ)求二面角的余弦值.
解析:求线面角关键是作垂线,找射影,求异面直线所成的角采用平
移法 求二面角的大小也可应用面积射影法,比较好的方法是向量法
答案:(I)取DC的中点O,由ΔPDC是正三角形,有PO⊥DC.
又∵平面PDC⊥底面ABCD,∴PO⊥平面ABCD于O.
连结OA,则OA是PA在底面上的射影.∴∠PAO就是PA与底面所成角.
∵∠ADC=60°,由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形,从而求得OA=OP=.
∴∠PAO=45°.∴PA与底面ABCD可成角的大小为45°. ……6分
(II)由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°,DC=2,DO=1,有OA⊥DC.
建立空间直角坐标系如图,则, .
由M为PB中点,∴.
∴.
∴,
.
∴PA⊥DM,PA⊥DC. ∴PA⊥平面DMC. ……4分
(III).令平面BMC的法向量,
则,从而x+z=0; ……①, ,从而. ……②
由①、②,取x=−1,则. ∴可取.
由(II)知平面CDM的法向量可取,
∴. ∴所求二面角的余弦值为-. ……6分
法二:(Ⅰ)方法同上
(Ⅱ)取的中点,连接,由(Ⅰ)知,在菱形中,由于,
则,又,则,即,
又在中,中位线,,则,
则四边形为,所以,在中,,
则,故而,
则
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,则为二面角的平面角,
在中,易得,,
故,所求二面角的余弦值为
科目:高中数学 来源:2011届河北省邯郸一中高三高考压轴模拟考试文数 题型:解答题
(本小题12分)如图,四棱锥中,
侧面是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为的中点.
(1)求与底面所成角的大小;
(2)求证:平面;
(3)求二面角的余弦值.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年福建省高三12月月考理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
如图,四棱锥中,侧面是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为的中点.
(Ⅰ)求与底面所成角的大小;
(Ⅱ)求证:平面;(Ⅲ)求二面角的余弦值.
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年河北省高三高考压轴模拟考试文数 题型:解答题
(本小题12分)如图,四棱锥中,
侧面是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为的中点.
(1)求与底面所成角的大小;
(2)求证:平面;
(3)求二面角的余弦值.
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