Question

（2011•海淀区二模）已知函数f(x)=(ax2-x)lnx-

1

2

ax2+x．（a∈R）．
（I）当a=0时，求曲线y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程（e=2.718…）；
（II）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（I）将a=0代入，对函数f（x）进行求导得到切线的斜率k=f′（e），切点为（e，f（e）），根据点斜式即可写出切线方程；
（II）由题意知先求导数，f（x）在（1，e]内单调性．下面对a进行分类讨论：①当a≤0时，②当0＜a＜

1

2

时，③当a=

1

2

时，④当a＞

1

2

时，由此可知f（x）的单调增区间和单调递减区间；

解答：解：（ I）当a=0时，f（x）=x-xlnx，f'（x）=-lnx，…（2分）
所以f（e）=0，f'（e）=-1，…（4分）
所以曲线y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程为y=-x+e．…（5分）
（ II）函数f（x）的定义域为（0，+∞）f′(x)=(ax2-x)

1

x

+(2ax-1)lnx-ax+1=(2ax-1)lnx，…（6分）
①当a≤0时，2ax-1＜0，在（0，1）上f'（x）＞0，在（1，+∞）上f'（x）＜0
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上递减； …（8分）
②当0＜a＜

1

2

时，在（0，1）和(

1

2a

，+∞)上f'（x）＞0，在(1，

1

2a

)上f'（x）＜0
所以f（x）在（0，1）和(

1

2a

，+∞)上单调递增，在(1，

1

2a

)上递减；…（10分）
③当a=

1

2

时，在（0，+∞）上f'（x）≥0且仅有f'（1）=0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；                …（12分）
④当a＞

1

2

时，在(0，

1

2a

)和（1，+∞）上f'（x）＞0，在(

1

2a

，1)上f'（x）＜0
所以f（x）在(0，

1

2a

)和（1，+∞）上单调递增，在(

1

2a

，1)上递减…（14分）

点评：本题主要考查函数导数的几何意义和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，考查运算能力，属中档题．