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设a为实数,函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|
(Ⅰ)若f(0)≥1,求a的取值范围;
(Ⅱ)求f(x)在[-2,2]上的最小值.
考点:分段函数的应用,函数的值域
专题:计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用
分析:(Ⅰ)原不等式即为-a|a|≥1,考虑a<0,解二次不等式求交集即可;
(Ⅱ)将函数f(x)改写为分段函数,讨论当a≥0时,①-a≤-2,②-a>-2,当a<0时,①
a
3
≤-2,②
a
3
>-2,运用二次函数的单调性,即可得到最小值.
解答: 解:(Ⅰ) 若f(0)≥1,则-a|a|≥1⇒
a<0
a2≥1
⇒a≤-1,
则a的取值范围是(-∞,-1];          
(Ⅱ)函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|=
3x2-2ax+a2,x≥a
x2+2ax-a2,x<a

当a≥0时,
①-a≤-2即a≥2时,f(x)在[-2,2]上单调递增,所以
f(x)min=f(-2)=4-4a-a2;                    
②-a>-2即0≤a<2时,f(x)在[-2,-a]上单调递减,在[-a,2]上单调递增,所以
f(x)min=f(-a)=-2a2;                           
当a<0时,
a
3
≤-2即a≤-6时,f(x)在[-2,2]上单调递增,所以
f(x)min=f(-2)=12+4a+a2;                          
a
3
>-2即-6<a<0时,f(x)在[-2,
a
3
]上单调递减,在[
a
3
,2]上单调递增,所以
f(x)min=f(
a
3
)=
2a2
3

综上可得,f(x)min=
a2+4a+12,a≤-6
2a2
3
,-6<a<0
-2a2,0≤a<2
-a2-4a+4,a≥2
点评:本题考查绝对值函数的运用,考查分类讨论的思想方法,考查二次函数在闭区间上的最值,考查运算能力,属于中档题和易错题.
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