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    8．袋中有3个大小、质量相同的小球，每个小球上分别写有数字0，1，2，随机摸出一个将其上的数字记为a1，然后放回袋中，再次随机摸出一个，将其上的数字记为a2，依次下去，第n次随机摸出一个，将其上的数字记为an记ξn=a1a2…an，则（1）随机变量ξ2的期望是1；
    （2）当${ξ_n}={2^{n-1}}$时的概率是$\frac{n}{{3}^{n}}$．

    分析 （1）P（ξ2=1）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$，P（ξ2=2）=2×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$，P（ξ2=4）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$，利用互为对立事件的概率计算公式可得P（ξ2=0）．可以求得随机变量ξ2的分布列及其数学期望．
    ②当${ξ_n}={2^{n-1}}$时，n次抽取中，其中一次为1，剩下的n-1抽取的都为2，即可得出P（${ξ_n}={2^{n-1}}$）．

    解答 解：（1）P（ξ2=1）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{9}$，P（ξ2=2）=2×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{9}$，
    P（ξ2=4）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{9}$，P（ξ2=0）=1-$\frac{1}{9}-\frac{2}{9}-\frac{1}{9}$=$\frac{5}{9}$．
    可以求得随机变量ξ2的分布列如表所示：

    ξ20124
    P$\frac{5}{9}$$\frac{1}{9}$$\frac{2}{9}$$\frac{1}{9}$
    ∴Eξ2=$0+1×\frac{1}{9}+2×\frac{2}{9}+4×\frac{1}{9}$=1．
    （2）当${ξ_n}={2^{n-1}}$时，n次抽取中，其中一次为1，剩下的n-1抽取的都为2，
    ∴P（${ξ_n}={2^{n-1}}$）=$n×\frac{1}{3}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$=$\frac{n}{{3}^{n}}$．
    故答案为：1，$\frac{n}{3^n}$．

    点评 本题考查了互相对立与互斥事件的概率计算公式及其数学期望，考查推理能力与计算能力，属于中档题．

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