Question

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知A-C=

π

2

，a+c=

2

b，求C．

Answer 1

分析：由A-C等于

π

2

得到A为钝角，根据诱导公式可知sinA与cosC相等，然后利用正弦定理把a+c=

2

b化简后，把sinA换为cosC，利用特殊角的三角函数值和两角和的正弦函数公式把左边变为一个角的正弦函数，给方程的两边都除以

2

后，根据C和B的范围，得到C+

π

4

=B或C+

π

4

+B=π，根据A为钝角，所以C+

π

4

+B=π不成立舍去，然后根据三角形的内角和为π，列出关于C的方程，求出方程的解即可得到C的度数．

解答：解：由A-C=

π

2

，得到A为钝角且sinA=cosC，
利用正弦定理，a+c=

2

b可变为：sinA+sinC=

2

sinB，
即有sinA+sinC=cosC+sinC=

2

sin（C+

π

4

）=

2

sinB，
又A，B，C是△ABC的内角，
故C+

π

4

=B或C+

π

4

+B=π（舍去），
所以A+B+C=（C+

π

2

）+（C+

π

4

）+C=π，
解得C=

π

12

．

点评：此题考查学生灵活运用诱导公式、特殊角的三角函数值以及两角和的正弦函数公式化简求值，是一道中档题．学生做题时应注意三角形的内角和定理及角度范围的运用．