Question

设三棱锥P—ABC的顶点P在底面ABC内射影O(在△ABC内部，即过P作PO⊥底面ABC，交于O)，且到三个侧面的距离相等，则O是△ABC的(    )

A．外心

B．垂心

C．内心

D．重心

Answer 1

C

如图，设OD⊥AB于D，连结PD，则OD为PD在底面△ABC上的射影，∴PD⊥AB，∴AB⊥平面POD.

∴平面PAB⊥平面POD，且它们的交线为PD.作OE⊥PD于E，则OE⊥平面PAB，
∴OE即为点O到侧面PAB的距离.
同理可作出O到侧面PBC的垂线段OF.
∵OE=OF，∴Rt△PEO≌Rt△PFO.
∴∠DPO=∠GPO.
∴Rt△POD≌Rt△POG.∴OD=OG.
∴O为△ABC的内心