Question

已知f（x）=

ex-a

x

，g（x）=alnx+a．
（1）当a=0时，求f（x）在（1，f（x））处的切线方程．
（2）若x＞1时，恒有f（x）≥g（x）成立，求a的范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）把a=0代入函数解析式，求得导函数，得到f′（1），再求出f（1）的值，然后利用直线方程的点斜式得答案；
（2）构造函数h（x）=f（x）-g（x），求其导函数，分a＜e和a≥e讨论，当a＜e时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，直接由h（1）≥0求得a的范围；当a≥e时，求出h（x）在（1，+∞）上的最小值，由最小值大于等于0求得a的范围，最后取并集得答案．

解答： 解：（1）当a=0时，f(x)=

ex

x

，f′(x)=

xex-ex

x2

，
∴f′（1）=0，
又f（1）=e，
∴f（x）在（1，f（x））处的切线方程为y-e=0×（x-1），
即y=e；
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=

ex-a

x

-alnx-a（x＞1），
h′(x)=

xex-ex+a-ax

x2

=

(x-1)(ex-a)

x2

．
当a＜e时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，
由h（1）=e-a-a≥0，得a≤

e

2

，
∴a≤

e

2

；
当a≥e时，由h′（x）=0，得x=lna，
当x∈（1，lna）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数，
当x∈（lna，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，
∴当x=lna时，h（x）有极小值，也是（1，+∞）上的最小值，
h（x）_min=

elna-a

lna

-aln(lna)-a=-aln（lna）-a．
由-aln（lna）-a≥0，得a≤e

1

e

，与a≥e矛盾．
综上，对x＞1，恒有f（x）≥g（x）成立的a的范围是（-∞，

e

2

]．

点评：本题考查了利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，训练了函数构造法，体现了分类讨论的数学思想方法，是压轴题．