Question

设定义在R的函数f（x）=a₀x⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x+a₄，a₀，a₁，a₂，a₃，a₄∈R，当x=-1时，f（x）取得极大值

2

3

，且函数y=f（x+1）的图象关于点（-1，0）对称．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的表达式；
（Ⅱ）判断函数y=f（x）的图象上是否存在两点，使得以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标在区间[-

2

，

2

]上，并说明理由；
（Ⅲ）设x_n=1-2^-n，y_m=

2

(3-m-1)（m，n∈N⁺），求证：|f（x_n）-f（y_m）|＜

4

3

|．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将函数y=f（x+1）的图象向右平移一个单位得到函数y=f（x）的图象，得出函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即y=f（x）为奇函数，所以f（x）=a₁x³+a₃x．利用当x=-1时，f（x）取得极大值

2

3

，列出方程组，求解a₁，a₃．
（II）假设存在两切点（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂）），且x₁，x₂∈[-

2

，

2

]，通过f′（x₁）f′（x₂）=（

x

2 1

-1）（

x

2 2

-1）=-1探讨方程解得情况，作出判断．
（Ⅲ）x_n∈[

1

2

，1)，y_m∈(-

2

，-

2 2

3

]，考查f（x）的单调性，分别求出f（x_n），f（y_m）的最值解决．

解答：解：（I）将函数y=f（x+1）的图象向右平移一个单位得到函数y=f（x）的图象，∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即y=f（x）为奇函数、∴f（x）=a₁x³+a₃x
由题意可得

f′(-1)=3a1+a3=0 f(-1)=-a1-a3= 2 3

，解得

a1= 1 3 a3=-1

∴f（x）=

1

3

x³-x
（II）存在满足题意的两点．                         
由（I）得f′（x）=x²-1
假设存在两切点（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂）），且x₁，x₂∈[-

2

，

2

]，
则f′（x₁）f′（x₂）=（

x

2 1

-1）（

x

2 2

-1）=-1
∵，

x

2 1

-1，

x

2 2

-1∈[-1，1]，∴

x 2 1 -1=-1 x 2 2 -1=1

或

x 2 1 -1=1 x 2 2 -1=-1

即

x1=0 x2=± 2

或

x2=0 x1=± 2

从而可求得两点的坐标分别为（0，0），（

2

，-

3

3

）或（0，0），（-

2

，

3

3

）
…（9分）
（III）∵当x∈[

1

2

，1)时，f′（x）＜0，∴f（x）在[

1

2

，1)上递减
由已知得x_n∈[

1

2

，1)，∴f(xn)∈(f(1)，f(

1

2

)]，即f(xn)∈(-

2

3

，-

11

24

]
…（11分）
又x＜1时，f′（x）＞0-1＜x＜1时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-1）上递增，f（x）在（-1，1）上递减．
∵y_m=

2

(3-m-1)，∴y_m∈(-

2

，-

2 2

3

]
∵-

2

＜-1＜-

2 2

3

，且f（

2

）=

2

-

2 2

3

=

2

3

＜f（-

2 2

3

）=

2 2

3

-

38 2

81

∴f（y_m）∈(f(-

2

)，f(-1)]=(

2

3

，

2

3

]、…（13分）
∴|f（x_n）-f（y_m）|=f（y_m）-f（x_n）＜

2

3

-(-

2

3

)=

4

3

…（14分）

点评：本题考查导数的几何意义，函数最值求解及应用．用到了函数单调性与导数关系，综合性强．属于难题．