Question

根据抛物线的光学原理：一水平光线射到抛物线上一点，经抛物线反射后，反射光线必过焦点．然后求解此题：抛物线y²=4x上有两个定点A、B分别在对称轴的上、下两侧，一水平光线射到A点后，反射光线会平行y轴，一水平光线射到B点后，反射光线所在直线的斜率为 -

4

3

．
（Ⅰ）求直线AB的方程．
（Ⅱ）在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求这个最大面积．

Answer 1

分析：（1）由已知得焦点F（1，0），且FA⊥x轴，所以A （1，2），同理得到B（4，-4），由此能求出直线AB的方程．
（2）法一：设在抛物线AOB这段曲线上任一点P（x₀，y₀），且1≤x₀≤4，-4≤y₀≤2．由点P到直线AB的距离d=

|2x0+y0-4|

1+4

=

|2× y 2 0 4 +y0-4|

5

=

| 1 2 (y0+1)2- 9 2 |

5

，由此得到△PAB的面积最大值和此时P点坐标．
法二：由

2x+y+m=0 y2=4x

⇒y2+2y+2m=0⇒△=4-8m=0⇒m=

1

2

，由此得到△PAB的面积最大值和此时P点坐标．

解答：解：（1）由已知得焦点F（1，0），
且FA⊥x轴，
∴A （1，2），
同理kFB=-

4

3

，
得到B（4，-4），
所以直线AB的方程为2x+y-4=0．（6分）
（2）法一：设在抛物线AOB这段曲线上任一点P（x₀，y₀），
且1≤x₀≤4，-4≤y₀≤2．
则点P到直线AB的距离d=

|2x0+y0-4|

1+4

=

|2× y 2 0 4 +y0-4|

5

=

| 1 2 (y0+1)2- 9 2 |

5

，
所以当y₀=-1时，d取最大值

9 5

10

，
又|AB|=3

5

（10分）
所以△PAB的面积最大值为S=

1

2

×3

5

×

9 5

10

=27，
此时P点坐标为(

1

4

，-1)．（12分）
法二：由

2x+y+m=0 y2=4x

⇒y2+2y+2m=0⇒△=4-8m=0⇒m=

1

2

，
∴dmax=

| 1 2 -(-4)|

5

=

9 5

10

，
∴△PAB的面积最大值为S=

1

2

×3

5

×

9 5

10

=27，
此时P点坐标为(

1

4

，-1)．

点评：本题考查直线方程的求法和求△PAB的最大面积．综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．