Question

已知f（x）=ax²-blnx+2x（a＞0，b＞0）在区间(

1

2

，1)上不单调，则

3b-2

3a+2

的取值范围是（　　）

• A．[

  1

  2

  ，2]
• B．(

  1

  2

  ，2)
• C．(-

  1

  2

  ，+∞)
• D．（2，+∞）

Answer 1

分析：求出原函数的导函数，由原函数区间(

1

2

，1)上不单调，得到关于a，b的不等式组，作出可行域，然后利用

3b-2

3a+2

的几何意义求其范围．

解答：解：由f（x）=ax²-blnx+2x，得f′(x)=2ax-

b

x

+2=

2ax2+2x-b

x

．
令g（x）=2ax²+2x-b，
因为f（x）=ax²-blnx+2x（a＞0，b＞0）在区间(

1

2

，1)上不单调，
所以在区间(

1

2

，1)上，存在x使得f^′（x）=0，且x不是方程2ax²+2x-b=0的二重根．
即函数g（x）=2ax²+2x-b在区间(

1

2

，1)上有零点，且零点两侧的函数值异号．
又其对称轴方程为x=-

1

2a

＜0，则

g( 1 2 )= a 2 -b+1＜0 g(1)=2a-b+2＞0

．
其可行域如图，

而

3b-2

3a+2

=

b- 2 3

a+ 2 3

，几何意义为可行域内的动点与定点A(-

2

3

，

2

3

)连线的斜率的范围，
由图可知范围为(

1

2

，2)．
故选B．

点评：本题考查了函数的单调性与导数的关系，考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法及数学转化思想方法，解答的关键是由题意列出关于a，b的不等式组，是中档题．