Question

已知奇函数f（x）的定义域为R，当x≥0时，f（x）=x²-2x+a，则满足f（x-x²）＞0的实数x范围是

 

．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由奇函数的性质：f（0）=0，求得a=0，再令x＜0，求得x＜0的解析式，再令f（x）＞0，求得x的范围，即为为x-x²的范围，解二次不等式即可得到所求．

解答： 解：奇函数f（x）的定义域为R，
则f（0）=0，
当x≥0时，f（x）=x²-2x+a，
即有a=0，
即x＞0时，f（x）=x²-2x，
当x＜0时，-x＞0，f（-x）=x²+2x，
又f（-x）=-f（x），
则f（x）=-x²-2x（x＜0），
令f（x）＞0，则

x＞0 x2-2x＞0

或

x＜0 -x2-2x＞0

解得，x＞2或-2＜x＜0，
则f（x-x²）＞0即为x-x²＞2或-2＜x-x²＜0，
解得，x∈∅或-1＜x＜0或1＜x＜2，
则x的范围为（-1，0）∪（1，2）．
故答案为：（-1，0）∪（1，2）．

点评：本题考查函数的奇偶性的运用：求解析式和解不等式，考查运算能力，属于中档题．