Question

（2012•福建）对于实数a和b，定义运算“﹡”：a*b=

a2-ab，a≤b b2-ab，a＞b

设f（x）=（2x-1）﹡（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x₁，x₂，x₃，则x₁x₂x₃的取值范围是

(

1- 3

16

，0)

．

Answer 1

分析：根据所给的新定义，写出函数的分段形式的解析式，画出函数的图象，在图象上可以看出当直线与函数的图象有三个不同的交点时m的取值，根据一元二次方程的根与系数之间的关系，写出两个根的积和第三个根，表示出三个根之积，根据导数判断出函数的单调性，求出关于m的函数的值域，得到结果．

解答：解：∵2x-1≤x-1时，有x≤0，
∴根据题意得f（x）=

(2x-1)2-(2x-1)(x-1)    x≤0 (x-1)2-(2x-1)(x-1)      x＞0

即f（x）=

2x2-x   x≤0 -x2+x   x＞0

画出函数的图象从图象上观察当关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，m的取值范围是（0，

1

4

），
当-x²+x=m时，有x₁x₂=m，
当2x²-x=m时，由于直线与抛物线的交点在y轴的左边，得到x3=

1- 1+8m

4

，
∴x₁x₂x₃=m（

1- 1+8m

4

）=

m-m 1+8m

4

，m∈（0，

1

4

）
令y=

m-m 1+8m

4

，
则y′=

1

4

(1-

1+8m

-

4m

1+8m

)，又h(m)=

1+8m?

+

4m

1+8m?

在m∈（0，

1

4

）上是增函数，故有h（m）＞h（0）=1
∴y′=

1

4

(1-

1+8m

-

4m

1+8m

)＜0在m∈（0，

1

4

）上成立，
∴函数y=

m-m 1+8m

4

在这个区间（0，

1

4

）上是一个减函数，
∴函数的值域是（f（

1

4

），f（0）），即(

1- 3

16

，0)
故答案为：(

1- 3

16

，0)

点评：本题考查分段函数的图象，考查新定义问题，这种问题解决的关键是根据新定义写出符合条件的解析式，本题是一个综合问题，涉及到导数判断函数的单调性，本题是一个中档题目．