Question

已知函数y=f（x）=x³+px²+qx的图象与x轴切于非原点的一点，且y_最小=-4，那么p=________，q=________．

Answer 1

6    9
分析：设切点（a，0）（a≠0），f（x）=x（x²+px+q）．由题意得：方程x²+px+q=0有两个相等实根a，故可得f（x）=x（x-a）²=x³-2ax²+a²x，再利用y_极小值=-4，可求a=-3，从而可求p，q的值．
解答：设切点（a，0）（a≠0），f（x）=x（x²+px+q）
由题意得：方程x²+px+q=0有两个相等实根a
故可得f（x）=x（x-a）²=x³-2ax²+a²x
f′（x）=3x²-4ax+a²=（x-a）（3x-a）
令f′（x）=0，则x=a或
∵f（a）=0≠-4，
∴
于是，
∴a=-3
∴f（x）=x³+6x²+9x
∴p=6，q=9
故答案为：6；9．
点评：本题以函数为载体，考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的极值，考查导数的几何意义，属于中档题．