Question

给出下列命题：
①若f（x）=2x³+3的反函数为f^-1（x），则f^-1（5）=1；
②过原点作圆x²+y²-12x+9=0的两切线，则两切线所夹的劣弧长为2

3

π；
③在△ABC中，已知a=5，b=6，A=30°，则B有一解且B=arcsin

3

5

；
④在样本频率分布直方图中，共有三个长方形，其面积由小到大构成等差数列{a_n}，且a₂+a₃=0.8，则最大的长方形的面积为

7

15

其中正确命题的序号为

①④

．

Answer 1

分析：根据原函数与反函数之间的关系得到①正确，根据弧长的运算得到②不正确，根据三角形解的个数的判断得到③不正确，根据频率分布直方图得到④正确．

解答：解：若f（x）=2x³+3的反函数为f^-1（x），则f^-1（5）=1；把1代入原函数得到函数值时5，故①正确，
过原点作圆x²+y²-12x+9=0的两切线，
过圆心做切线的垂线，根据组成的直角三角形三边之间的关系，得到两条切线所夹的角是60°，
根据原定周长乘以

1

6

，弧长是

1

6

×2×π×3

3

=

3

π，故②不正确，
则两切线所夹的劣弧长为2

3

π；
在△ABC中，已知a=5，b=6，A=30°，
∵6＞5＞6×sin30°
则B有两解，故③不正确，
在样本频率分布直方图中，共有三个长方形，其面积由小到大构成等差数列{a_n}，
且a₂+a₃=0.8，a₁=0.2，d=

4

30

，则最大的长方形的面积为0.2+

8

30

=

7

15

，故④正确，
综上可知①④正确，
故答案为：①④

点评：本题考查的知识点比较多，特别注意对于解三角形的考查和对于弧长的考查，本题解题的关键是对于所给的四个命题逐一的判断，本题是一个中档题目．