Question

已知x∈R，且f（x+1）=-f（x），则f（x+2）=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x），得f（x）的一个周期为2．类比上述结论，请写出下列两个函数的一个周期：
（1）已知a为正常数，x∈R，且f（x+a）=-f（x），则f（x）的一个周期为

 

；
（2）已知a为正常数，x∈R，且f(x+a)=

f(x)-1

f(x)+1

，则f（x）的一个周期为

 

．

Answer 1

分析：（1）根据周期函数的定义，f（x+T）=f（x），T周期，先将f（x+a）=-f（x）转化成f（x+2a）=-f（x+a）=f（x），根据函数的周期性的定义可知该函数的周期．
（2）根据周期函数的定义，依次计算f（x+na）（n∈N₊）直到等于f（x）为止．

解答：解：（1）∵f（x+a）=-f（x），
∴f（x+2a）=-f（x+a）=f（x）即f（x+2a）=f（x）
∴函数f（x）的周期是2a．
（2）∵f（x+2a）=

f(x+a)-1

1+f(x+a)

=-

1

f(x)

，∴f（x+3a）=

f(2a)-1

1+f(2a)

=

f(x)-1

f(x)+1

，∴f（x+4a）=

f(3a)-1

1+f(3a)

=f（x）；
∴f（x）的周期为4a．
故答案为：2a；4a．

点评：本题考查了类比推理、抽象函数的周期性，利用周期函数的定义求解，一定要抓牢基础，要求平时学习掌握知识要扎实，灵活，属于基础题．