Question

已知a＞0，设函数f（x）=

2009x+1+2007

2009x+1

+sinx（x∈[-a，a]的最大值为M，最小值为N，那么M+N=（　　）

A．0

B．2008

C．4016

D．4017

Answer 1

分析：设g（x）=

2009 x+1+2007

2009x+1

，则g（x）=2009-

2

2009x+1

，因为2009^x是R上的增函数，所以g（x）是R上的增函数．函数g（x）在[-a，a]上的最大值是g（a），最小值是g（-a）．函数sinx是奇函数，它在[-a，a]上的最大值与最小值互为相反数，最大值与最小值的和为0．所以函数f（x）的最大值M与最小值N之和M+N=g（a）+g（-a），由此能求出M+N的值．

解答：解：∵f（x）=

2009x+1+2007

2009x+1

+sinx，
设g（x）=

2009 x+1+2007

2009x+1

，
则g（x）=

2009x+1+2009-2

2009x+1

=2009-

2

2009x+1

，
因为2009^x是R上的增函数，所以g（x）是R上的增函数．
函数g（x）在[-a，a]上的最小值是g（-a），最大值是g（a）．
函数sinx是奇函数，它在[-a，a]上的最大值与最小值互为相反数，
最大值与最小值的和为0．
所以函数f（x）的最大值M与最小值N之和M+N=g（a）+g（-a）
=（2009-

2

2009a+1

）+（2009-

2

2009-a+1

）
=4018-（

2

2009a+1

+

2

2009-a+1

）
=4018-（

2

2009a+1

+

2×2009a

1+2009a

）
=4018-2
=4016．
故选C．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，解题时要认真审题，注意函数性质的综合运用，易错点是

2

2009a+1

+

2

2009-a+1

的化简运算方法不当导致出错．