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在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且角A、B、C成等差数列,b=1,
(Ⅰ)求tanA+tanC-
3
tanA•tanC的值;
(Ⅱ)求a+c的取值范围.
分析:(1)依题意,可求得B=
π
3
,逆用两角和的正切即可求得tanA+tanC-
3
tanAtanC的值;
(2)利用正弦定理,可将a+c转化为:a+c=2sin(A+
π
6
)(0<A<
3
),利用正弦函数的单调性即可求得a+c的取值范围;
解答:解:(1)∵A、B、C成等差数列,
∴2B=A+C,又A+B+C=π,
∴B=
π
3

∴tan(A+C)=tan(π-B)=-tanB=-
3

又tan(A+C)=
tanA+tanC
1-tanAtanC

tanA+tanC
1-tanAtanC
=-
3

即tanA+tanC=-
3
+
3
tanAtanC,
∴tanA+tanC-
3
tanAtanC=-
3

(2)∵b=1,B=
π
3

∴由正弦定理:
a
sinA
=
c
sinC
=
b
sinB
=
1
3
2
=
2
3
3
得:
a+c=
2
3
3
sinA+
2
3
3
sinC
=
2
3
3
(sinA+sinC)
=
2
3
3
[sinA+sin(
3
-A)]
=
2
3
3
[sinA+
3
2
cosA-(-
1
2
)sinA]
=
2
3
3
×
3
2
3
sinA+cosA)
=2sin(A+
π
6
),
∵0<A<
3

π
6
<A+
π
6
6

∴1<2sin(A+
π
6
)≤2.
∴a+c的取值范围是(1,2].
点评:本题考查两角和与差的正切函数,着重考查正弦定理与余弦定理的应用,突出化归思想与运算能力的考查,属于难题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

8、对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),定义它们之间的一种“距离”:||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|.给出下列三个命题:
①若点C在线段AB上,则||AC||+||CB||=||AB||;
②在△ABC中,若∠C=90o,则||AC||2+||CB||2=||AB||2
③在△ABC中,||AC||+||CB||>||AB||.
其中真命题的个数为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

△ABC中,三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,设复数z=sinA(sinA-sinC)+(sin2B-sin2C)i,且z在复平面内所对应的点在直线y=x上.
(1)求角B的大小;
(2)若sinB=cosAsinC,△ABC的外接圆的面积为4π,求△ABC的面积.

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科目:高中数学 来源: 题型:

对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1)、B(x2,y2),定义它们之间的一种“距离”:‖AB‖=|x1-x2|+|y1-y2|.给出下列三个命题:
①若点C在线段AB上,则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;
②在△ABC中,若∠C=90°,则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;
③在△ABC中,‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖.
其中真命题的个数为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题是“若x,y互为相反数,则x+y=0”.
②在平面内,F1、F2是定点,|F1F2|=6,动点M满足||MF1|-|MF2||=4,则点M的轨迹是双曲线.
③“在△ABC中,“∠B=60°”是“∠A,∠B,∠C三个角成等差数列”的充要条件.
④“若-3<m<5则方程
x2
5-m
+
y2
m+3
=1
是椭圆”.
⑤在四面体OABC中,
OA
=
a
OB
=
b
OC
=
c
,D为BC的中点,E为AD的中点,则
OE
=
1
2
a
+
1
4
b
+
1
4
c

⑥椭圆
x2
25
+
y2
9
=1
上一点P到一个焦点的距离为5,则P到另一个焦点的距离为5.
其中真命题的序号是:
①②③⑤⑥
①②③⑤⑥

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

△ABC中,三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,设复数z=sinA(sinA-sinC)+(sin2B-sin2C)i,且z在复平面内所对应的点在直线y=x上.
(1)求角B的大小;
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