【题目】已知函数().
(1)求的单调区间和极值;
(2)求在上的最小值.
(3)设,若对及有恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)的单调递增区间为,单调递减区间为,,无极大值;
(2)时,时,时,;(3).
【解析】
试题分析:(1)求出,得增区间,得减区间;(2)根据(1),对是否在区间内进行讨论,从而求得在区间上的最小值;(3)要使当时,对任意,有成立, 则成立, 利用导数求出,即可得到实数的取值范围.
试题解析:(1),由,得;
当时,;当时,;
∴的单调递增区间为,单调递减区间为,,无极大值.
(2)当,即时,在上递增,∴;
当,即时,在上递减,∴;
当,即时,在上递减,在上递增,
∴.
(3),∴,
由,得,
当时,;
当时,,
∴在上递减,在递增,
故,
又∵,∴,∴当时,,
∴对恒成立等价于;
又对恒成立.
∴,故.
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【题目】如图,四边形ABCD是正方形,延长CD至E,使得DE=CD.若动点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点,其下列叙述正确的是( )
A. 满足λ+μ=2的点P必为BC的中点
B. 满足λ+μ=1的点P有且只有一个
C. λ+μ的最大值为3
D. λ+μ的最小值不存在
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【题目】给出下列四个命题中:
①函数的一个对称中心为;
②若, 为第一象限角,且,则;
③若,则存在实数,使得;
④点是三角形所在平面内一点,且满足,则点是三角形的内心.
其中正确的序号是__________.(把你认为正确的序号都填上)
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【题目】在直角坐标系中,以原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程并指出其形状;
(2)设是曲线上的动点,求的取值范围.
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【题目】设数列{an}的前n项和为Sn,且首项a1≠3,an+1=Sn+3n(n∈N*).
(1)求证:数列{Sn-3n}是等比数列;
(2)若{an}为递增数列,求a1的取值范围.
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【题目】已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点(1,).
(I)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设与圆O:x2+y2=相切的直线l交椭圆C与A,B两点,求△OAB面积的最大值,及取得最大值时直线l的方程.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点的极坐标为,曲线的参数方程为(为参数).
(1)直线过且与曲线相切,求直线的极坐标方程;
(2)点与点关于轴对称,求曲线 上的点到点的距离的取值范围.
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