Question

5．已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且${a_1}=1，{a_{n+1}}+{a_n}={2^{n+1}}（n∈{N^*}）$
（Ⅰ）求证：$\left\{{{a_n}-\frac{{{2^{n+1}}}}{3}}\right\}$是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=3na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\frac{{a}_{n+1}-\frac{{2}^{n+2}}{3}}{{a}_{n}-\frac{{2}^{n+1}}{3}}$=$\frac{-{a}_{n}+\frac{{2}^{n+1}}{3}}{{a}_{n}-\frac{{2}^{n+1}}{3}}$=-1．由${a}_{1}-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}$，能证明{${a}_{n}-\frac{{2}^{n+1}}{3}$}是等比数列，由此能求出{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由b_n=3na_n=n•2^n-1+（-1）ⁿ•n，利用分组求和法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 证明：（Ⅰ）∵S_n是数列{a_n}的前n项和，且${a_1}=1，{a_{n+1}}+{a_n}={2^{n+1}}（n∈{N^*}）$，
∴$\frac{{a}_{n+1}-\frac{{2}^{n+2}}{3}}{{a}_{n}-\frac{{2}^{n+1}}{3}}$=$\frac{{2}^{n+1}-{a}_{n}-\frac{{2}^{n+2}}{3}}{{a}_{n}-\frac{{2}^{n+1}}{3}}$=$\frac{-{a}_{n}+\frac{{2}^{n+1}}{3}}{{a}_{n}-\frac{{2}^{n+1}}{3}}$=-1．
由${a}_{1}-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}$，得{${a}_{n}-\frac{{2}^{n+1}}{3}$}是首项为-$\frac{1}{3}$，公比为-1的等比数列，
∴${a}_{n}-\frac{{2}^{n+1}}{3}$=-$\frac{1}{3}$（-1）ⁿ，
∴a_n=$\frac{{2}^{n+1}}{3}+\frac{1}{3}（-1）^{n}$．
解：（Ⅱ）b_n=3na_n=n•2^n-1+（-1）ⁿ•n，
取{n•2^n-1}前n项和A_n，{（-1）ⁿ•n}前n项和B_n，
则${A}_{n}=1•{2}^{2}+2•{2}^{3}+3•{2}^{4}+…+n•{2}^{n+1}$，
2A_n=1•2³+2•2⁴+3•2⁵+…+n•2ⁿ⁺²，
则-A_n=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²
=$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}-n•{2}^{n+2}$，
∴${A}_{n}=4+（n-1）•{2}^{n+2}$，
当n是奇数时，B_n=（-1）+2+（-3）+4+（-5）+…+（-n）=-$\frac{n+1}{2}$，
当n是偶数时，B_n=（-1）+2+（-3）+4+（-5）+$…+（-n）=\frac{n}{2}$，
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{4+（n-1）•{2}^{n+2}-\frac{n+1}{2}，n是奇数}\\{46（n-1）•{2}^{n+2}+\frac{n}{2}，n是偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法和错位相减法的合理运用．