Question

已知圆C₁的方程为（x-4）²+（y-1）²=

32

5

，椭圆C₂的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，其离心率为

3

2

，如果C₁与C₂相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C₁的直径．
（Ⅰ）求直线AB的方程和椭圆C₂的方程；
（Ⅱ）如果椭圆C₂的左右焦点分别是F₁、F₂，椭圆上是否存在点P，使得

PF1

+

PF2

=λ

AB

，如果存在，请求点P的坐标，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先分析得出若直线AB斜率存在，所以可设AB直线方程为y-1=k（x-4），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用中点坐标公式即可求得b值，从而求出所求椭圆方程；
（Ⅱ）先依据F₁，F₂的中点是原点O，得出

PO

与

AB

共线，再根据直线AB的方程写出直线PO所在的直线方程，最后与椭圆的方程联立方程组即可解得P点坐标．

解答：解：（Ⅰ）若直线AB斜率不存在，则直线AB的方程为x=4，由椭圆的对称性可知，A，B两点关于x轴对称，A，B的中点为（4，0），又线段AB恰为圆C₁的直径，则圆心为（4，0），这与已知圆心为（4，1）矛盾，
因此直线AB斜率存在，（1分）
所以可设AB直线方程为y-1=k（x-4），且设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵e=

c

a

=

3

2

，∴c2=

3a2

4

，b2=

a2

4

设椭圆方程

x2

4b2

+

y2

b2

=1，（2分）
将AB直线方程为y-1=k（x-4）代入到椭圆方程得

x2

4b2

+

[kx-(4k-1)]2

b2

=1，
即（1+4k²）x²-8k（4k-1）x+4（4k-1）²-4b²=0（1），（4分）
x1+x2=

8k(4k-1)

1+4k2

=8，
解得k=-1，
故直线AB的方程为y=-x+5，（6分）
将k=-1代入方程（1）得5x²-40x+100-4b²=0．x₁+x₂=8，x1x2=

100-4b2

5

，△＞0，得b²＞5．（7分）
|AB|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=2

32 5

，得

2

•

16b2-80 5

=2

32 5

，解得b²=9．
故所求椭圆方程为

x2

36

+

y2

9

=1．（8分）
（Ⅱ）因为F₁，F₂的中点是原点O，
所以

PF1

+

PF2

=2

PO

=λ

AB

，所以

PO

与

AB

共线，（10分），
而直线AB的方程为y=-x+5，
所以直线PO所在的直线方程为y=-x．
∴

y=-x x2 36 + y2 9 =1

，

x= 6 5 5 y=- 6 5 5

或

x=- 6 5 5 y= 6 5 5

．
所以P点坐标为(

6 5

5

，-

6 5

5

)，(-

6 5

5

，

6 5

5

)．（12分）

点评：本小题主要考查圆与圆锥曲线的综合、直线的一般式方程、椭圆的标准方程等基础知识，考查运算求解能力、转化思想．属于基础题．