Question

定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期4，且x∈（0，2）时，f（x）=

3x

9x+1

，
（1）判断f（x）在（0，2）上的单调性，并给予证明；
（2）求f（x）在[-2，2]上的解析式；
（3）当λ为何值时，关于方程f（x）=λ在[-2，2]上有实数解？

Answer 1

分析：（1）设0＜x₁＜x₂＜2，利用定义法能够判断f（x）在（0，2）上的单调性，并给予证明．
（2）当-2＜x＜0时，0＜-x＜2，f（-x）=

3-x

9-x+1

=

3x

9x+1

，由f（x）为奇函数，知f（x）=-f（x）=-

3x

1+9x

，由此能求出f（x）在[-2，2]上的解析式．
（3）求关于方程f（x）=λ在[-2，2]上有实数解，即求函数f（x）在[-2，2]上的值域，由此进行等价转化能求出结果．

解答：解：（1）设0＜x₁＜x₂＜2，
则3x1-3x2＜0，1-3x1+x2＜0，(9x1+1)(9x2+1)＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=

3x1

9x1+1

-

3x2

9x2+1

=

(3x1-3x2)(1-3x1+x2)

(9x1+1)(9x2+1)

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在（0，2）上为减函数．…（4分）
（2）当-2＜x＜0时，0＜-x＜2，f（-x）=

3-x

9-x+1

=

3x

9x+1

，
又f（x）为奇函数，∴f（x）=-f（x）=-

3x

1+9x

，…（7分）
当x=0时，由f（-0）=-f（0），得f（0）=0，…（8分）
∵f（x）有最小正周期4，
∴f（-2）=f（-2+4）=f（2），
∴f（-2）=f（2）=0，…（9分）
综上，f(x)=

3x 9x+1 ，0＜x＜2 0，x∈{-2，0，2} - 3x 9x+1 ，-2＜x＜0

…（10分）
（3）求关于方程f（x）=λ在[-2，2]上有实数解，即求函数f（x）在[-2，2]上的值域．
当x∈（0，2）时，由（1）知，f（x）在（0，2）上为减函数，
∴

9

82

=f(2)＜f(x)＜f(0)=

1

2

，
当x∈（-2，0）时，0＜-x＜2，∴

9

82

＜f(-x)＜

1

2

，
f（x）=-f（-x）∈（-

1

2

，-

9

82

）．
当x∈{-2，0，2}时，f（x）=0，
∴f（x）的值域为（-

1

2

，-

9

82

）∪{0}∪（

9

82

，

1

2

），
∴λ∈（-

1

2

，-

9

82

）∪{0}∪（

9

82

，

1

2

）时方程方程f（x）=λ在[-2，2]上有实数解．…（14分）

点评：本题考查函数的单调性的证明，考查函数解析式的求法，考查函数的实数解时的条件．综合性强，难度大，有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答．