Question

20．已知（2x-1）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…a₇x⁷对任意x的值都成立，求下列各式的值：
（1）a₀+a₁+a₂+…+a₇；
（2）a₁+a₃+a₅+a₇．

Answer 1

分析 利用特殊值代入法，先求出a₀+a₁+a₂+…+a₇的值，再求a₁+a₃+a₅+a₇的值．

解答 解：（1）∵（2x-1）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷，
令x=1，得（2×1-1）⁷=a₀+a₁+a₂+…+a₇，
∴a₀+a₁+a₂+…+a₇=1；
（2）（2x-1）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷中，
令x=-1，得-3⁷=a₀-a₁+a₂+…-a₇x⁷①，
又1=a₀+a₁+a₂+…+a₇②；
②-①，得2（a₁+a₃+a₅+a₇）=1+3⁷，
∴a₁+a₃+a₅+a₇=$\frac{1{+3}^{7}}{2}$．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了利用特殊值求值的应用问题，是基础题目．