Question

(本小题满分13分)
某旅游景区的观景台P位于高(山顶到山脚水平面M的垂直高度PO)为2km的山峰上，山脚下有一段位于水平线上笔直的公路AB，山坡面可近似地看作平面PAB，且△PAB为等腰三角形.山坡面与山脚所在水平面M所成的二面角为α(0°＜α＜90°)，且sinα＝.现从山脚的水平公路AB某处C0开始修建一条盘山公路，该公路的第一段、第二段、第三段…，第n－1段依次为C0C1，C1C2，C2C3，…，Cn－1Cn(如图所示)，且C0C1，C1C2，C2C3，…，Cn－1Cn与AB所成的角均为β，其中0＜β＜90°，sinβ＝.试问：

(1)每修建盘山公路多少米，垂直高度就能升高100米.若修建盘山公路至半山腰(高度为山高的一半)，在半山腰的中心Q处修建上山缆车索道站，索道PQ依山而建(与山坡面平行，离坡面高度忽略不计)，问盘山公路的长度和索道的长度各是多少？
(2)若修建xkm盘山公路，其造价为 a万元.修建索道的造价为2a万元/km.问修建盘山公路至多高时，再修建上山索道至观景台，总造价最少.

Answer 1

（1）从山脚至半山腰，盘山公路为10km.从半山腰至山顶，索道长2.5km
（2）即修建盘山公路至山高1km时，总造价最小

解：(1)在盘山公路C0C1上任选一点D，作DE⊥平面M交平面M于E，过E作EF⊥AB交AB于F，连结DF，易知DF⊥C0F.sin∠DFE＝，sin∠DC0F＝.
∵DF＝C0D，DE＝DF，∴DE＝C0D，
所以盘山公路长度是山高的10倍，索道长是山高的倍，
所以每修建盘山公路1000米，垂直高度升高100米.
从山脚至半山腰，盘山公路为10km.从半山腰至山顶，索道长2.5km.(6分)
(2)设盘山公路修至山高x(0＜x＜2)km，则盘山公路长为10xkm，索道长(2－x)km.
设总造价为y万元，
则y＝a＋(2－x)·2a＝(10－5x)a＋10a.
令y′＝－5a＝0，则x＝1.
当x∈(0,1)时，y′＜0，函数y单调递减；当x∈(1,2)时，y′>0，函数y单调递增，
∴x＝1，y有最小值，即修建盘山公路至山高1km时，总造价最小，最小值为15万元