Question

18．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁，F₂，P为椭圆上任意一点．
（1）当a=2，b=$\sqrt{3}$时，
①cos∠F₁PF₂的最小值是$\frac{1}{2}$；
②|PF₁|•|PF₂|的取值范围是[3，4]；
③$|{\overrightarrow{P{F}_{1}}}^{2}|$+$|{\overrightarrow{P{F}_{2}}}^{2}|$的最小值是8．
（2）若满足|PF₁|=2|PF₂|，且∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$时，椭圆的离心率是$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（3）若满足|PF₁|=2|PF₂|时，椭圆离心率的取值范围是[$\frac{1}{3}$，1）；
（4）若满足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0时，椭圆的离心率的取值范围是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．
（5）过F₂且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，若△ABF₁是锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（$\sqrt{2}$-1，1）；
（6）A，B是椭圆左、右顶点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k₁，k₂（k₁k₂≠0）时，若|k₁|+|k₂|的最小值为1，则椭圆离心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）①利用余弦定理可得cos∠F₁PF₂=$\frac{12}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}-1$，再利用椭圆的定义结合配方法求出|PF₁|•|PF₂|的最大值得答案；
②由①中过程可得|PF₁|•|PF₂|的取值范围；
③把$|\overrightarrow{P{F}_{1}}{|}^{2}+|\overrightarrow{P{F}_{2}}{|}^{2}$配方，转化为含有|PF₁|•|PF₂|的代数式求得最小值；
（2）由已知结合椭圆定义求出|PF₁|，|PF₂|，然后结合余弦定理求得椭圆的离心率；
（3）由（2）中求得的|PF₂|，再由|PF₂|≥a-c求得椭圆离心率的取值范围；
（4）由点P满足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，可得点P的轨迹是以F₁F₂为直径的圆，其方程为x²+y²=c²．进一步得到椭圆短轴的顶点在圆上或在圆的内部，可得b≤c，两边平方后结合隐含条件求得椭圆的离心率；
（5）由椭圆的对称性，结合△ABF₁是锐角三角形，可得∠AF₁F₂＜45°，即tan∠AF₁F₂＜1，转化为a，b，c的不等式求得椭圆离心率的范围；
（6）先设出点M，N，A，B的坐标，然后表示出两斜率的关系，再由|k₁|+|k₂|的最小值为1，运用基本不等式的知识可得到当x₀=0时可取到最小值，进而找到a，b，c的关系，求得离心率的值．

解答 解：（1）当a=2，b=$\sqrt{3}$时，椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$
①∵cos∠F₁PF₂=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$=$\frac{（|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|）^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$=$\frac{12}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}-1$，
故当|PF₁||PF₂|取得最大值时，cos∠F₁PF₂取最小值．
∵|PF₁|+|PF₂|=4，∴|PF₂|=4-|PF₁|，
∴|PF₁|•|PF₂|=|PF₁|（4-|PF₁|）=-（|PF₁|-2）²+4，
∵1=2-1=a-c≤|PF₁|≤a+c=2+1=3，
∴3≤-（|PF₁|-2）²+4≤4，
∴|PF₁|•|PF₂|的最大值为4，最小值为3，
∴cos∠F₁PF₂的最小值是$\frac{1}{2}$；
②由①可得，|PF₁|•|PF₂|的取值范围是[3，4]；
③∵$|\overrightarrow{P{F}_{1}}{|}^{2}+|\overrightarrow{P{F}_{2}}{|}^{2}$=（|PF₁|+|PF₂|）²-2|PF₁|•|PF₂|=16-2|PF₁|•|PF₂|，
由②知|PF₁|•|PF₂|的最大值为4，
∴$|\overrightarrow{P{F}_{1}}{|}^{2}+|\overrightarrow{P{F}_{2}}{|}^{2}$的最小值为16-8=8；
（2）∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$中，|PF₁|+|PF₂|=2a，
∴由|PF₁|=2|PF₂|，得|PF₁|=$\frac{4}{3}a$，|PF₂|=$\frac{2}{3}a$，
∵cos∠F₁PF₂=cos$\frac{π}{3}=\frac{1}{2}$，
∴|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂，
可得4c²=$\frac{16}{9}{a}^{2}+\frac{4}{9}{a}^{2}-2×\frac{4}{3}a×\frac{2}{3}a×\frac{1}{2}$=$\frac{4}{3}{a}^{2}$，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{3}$，得椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（3）由（2）得，|PF₂|=$\frac{2}{3}a$，
则$\frac{2}{3}a≥a-c$，解得$e=\frac{c}{a}≥\frac{1}{3}$，
又0＜e＜1，
∴椭圆离心率的取值范围是[$\frac{1}{3}$，1）；
（4）∵点P满足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴点P的轨迹是以F₁F₂为直径的圆，其方程为x²+y²=c²．
又∵椭圆上存在点P，满足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴以F₁F₂为直径的圆与椭圆有公共点，
由此可得椭圆短轴的顶点在圆上或在圆的内部，
∴b≤c，即a²-c²≤c²，化简得a²≤2c²，解得$\frac{c}{a}≥\frac{\sqrt{2}}{2}$．
又0＜e＜1，
∴椭圆C的离心率e∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）；
（5）∵点F₁、F₂分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，
过F₂且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，
∴F₁（-c，0），F₂（c，0），A（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），B（c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），
∵△ABF₁是锐角三角形，
∴∠AF₁F₂＜45°，∴tan∠AF₁F₂＜1，
∴$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{2c}＜1$，
整理得b²＜2ac，
∴a²-c²＜2ac，
两边同时除以a²，并整理，得e²+2e-1＞0，
解得e＞$\sqrt{2}$-1，或e＜-$\sqrt{2}$-1，（舍），
又0＜e＜1，
∴椭圆的离心率e的取值范围是（$\sqrt{2}$-1，1）；
（6）设M（x₀，y₀），N（x₀，-y₀），A（-a，0），B（a，0），
则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，即有$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}=\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
k₁=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$，k₂=$\frac{{y}_{0}}{a-{x}_{0}}$，
|k₁|+|k₂|=|$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$|+|$\frac{{y}_{0}}{a-{x}_{0}}$|≥2$\sqrt{\frac{{{y}_{0}}^{2}}{|{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}|}}=1$，
当且仅当$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}=\frac{{y}_{0}}{a-{x}_{0}}$，即x₀=0，y₀=b时等号成立．
∴2$\sqrt{\frac{{{y}_{0}}^{2}}{|{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}|}}$=2•$\frac{b}{a}$=1，∴a=2b，
又∵a²=b²+c²，∴c=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：（1）①$\frac{1}{2}$；②[3，4]；③8；
（2）$\frac{\sqrt{3}}{3}$；（3）[$\frac{1}{3}$，1）；（4）[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）；（5）（$\sqrt{2}$-1，1）；（6）$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆的定义，训练了涉及焦点三角形问题的解法，考查数学转化思想方法，考查学生的推理论证能力和数学求解能力，是中档题．