Question

（本小题满分12分）

      某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：

每位参加者记分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；

每回答一题，记分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；

每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束。

假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为、、、，且各题回答正确与否相互之间没有影响。

（Ⅰ）求甲同学能进入下一轮的概率；

（Ⅱ）用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Εξ。

Answer 1

本小题主要考察离散型随机变量的分布列和数学期望，考察对立事件、独立事件的概率和求解方法，考察用概率知识解决实际问题的能力。

解：设A、B、C、D分别为敌一、二、三、四个问题，用M_I（I=1,2,3,4）表示甲同学第i个问题回答正确，用N（i=1,2,3,4)表示甲同学第i个问题回答错误，则Mi与Ni是对立事件（i=1,2,3,4）.由题意得

P(M_I)=,P(M₂)= ，P(M₃)= P(M₄)=，

所以 p（N₁）=, P(N₂)= , P(N₃)=, P(N₄)=.…………………………

(Ⅰ)记“甲同学能进入下一轮”为事件Q,

则Q=M₁M₂M₃+ N₁M₂M₃M₄+ M₁N₂M₃M₄+ M₁M₂N₃M₄+ N₁M₂N₃M₄

由于每题答题结果相互独立，因此

P（Q）=P（M₁M₂M₃+ N₁M₂M₃M₄+ M₁N₂M₃M₄+ M₁M₂N₃M₄+ N₁M₂N₃M₄）

      =P（M₁M₂M₃）+ P（N₁M₂M₃M₄）+ P（M₁N₂M₃M₄）+ P（M₁M₂N₃M₄）+ P（N₁M₂N₃M₄）

      = P（M₁）P（M₂）P（M₃）+ P（N₁）P（M₂）P（M₃）P（M₄）+ P（M₁）P（N₂）P（M₃）P（M₄）+ P（M₁）P（M₂）P（N₃）P（M₄）+ P（N₁）P（M₂）P（N₃）P（M₄）

     =+

=

(Ⅱ)由题意，随机变量ξ的可能取值为：2,3,4。

由于每题答题结果互相独立，所以 P（ξ=2）= P（N₁ N₂）= P（N₁）P（N₂）=

P（ξ=3）= P（M₁M₂M₃）+ P（M₁N₂N₃）

= P（M₁） P（M₂）P（M₃）+ P（M₁） P（N₂）P（N₃）

=

=

P（ξ=4）=1- P（ξ=2）- P（ξ=3）

=1--

=

因此 随机变量ξ的分布列为

所以Eξ=2