Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中 AD=AA₁=1，AB=2  
（1）证明：当点E在棱AB移动时，D₁E⊥A₁D；
（2）（理）在棱AB上是否存在点E，是二平面角D₁-EC-D的平面角为

π

6

？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．
（文）在棱AB上否存在点E使CE⊥面D₁DE若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接AD₁，由EA⊥平面ADD₁A₁，A₁D?平面ADD₁A₁，证出A₁D⊥EA，再在正方形ADD₁A₁得出A₁D⊥AD₁，证出A₁D⊥平面AD₁E后可证D₁E⊥A₁D．
（2）（理）存在．连接DE，过D作DH⊥EC，交EC于H，连接D₁H，则∠D₁HD为二面角D₁-EC-D的平面角，即∠D₁HD=

π

6

，设AE=x（0≤x≤2），在RT△D₁DH中利用tan

π

6

=

D1D

DH

，列出方程

2

1+(2-x)2

=

3

3

，考察方程的解得情况作出回答．
（文）存在点E．设AE=x（0≤x≤2），则BE=2-x，在RT△DEC中由勾股定理列出关于x的方程，考察方程的解得情况作出回答．

解答：（1）证明：连接AD₁，由长方体的结构特征，EA⊥平面ADD₁A₁，A₁D?平面ADD₁A₁，∴A₁D⊥EA，
由AD=AA₁=1，则四边形ADD₁A₁是正方形，∴A₁D⊥AD₁，
又∵EA∩AD₁=A，∴A₁D⊥平面AD₁E，
∵D₁E?平面AD₁E，
∴D₁E⊥A₁D．
（2）解：存在点E，使二平面角D₁-EC-D的平面角为

π

6

，此时AE=2-

3

3

．
连接DE，过D作DH⊥EC，交EC于H，连接D₁H，
在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥平面ABCD，EC?平面ABCD，
∴DD₁⊥EC，又∵DH∩DD₁=D，
∴EC⊥平面D₁DH，∵D₁H?平面D₁DH，∴EC⊥D₁H，
∴∠D₁HD为二面角D₁-EC-D的平面角，即∠D₁HD=

π

6

设AE=x（0≤x≤2），则EB=2-x，进而EC=

1+(2-x)2

，
在△DEC中，利用面积相等的关系有：EC×DH=CD×AD，
DH=

2

1+(2-x)2

，在RT△D₁DH中，
∵∠D₁HD=

π

6

，
∴tan

π

6

=

D1D

DH

，即

2

1+(2-x)2

=

3

3

解得x=2-

3

3

（0≤x≤2），所以存在点E，使二平面角D₁-EC-D的平面角为

π

6

，此时AE=2-

3

3

．
（文）存在点E．此时E为AB中点．CE⊥面D₁DE，
∴CE⊥DE，设AE=x（0≤x≤2），则BE=2-x，
由勾股定理得DE²=AD²+AE²=1+x²，CE²=CB²+BE²=1+（2-x）²，在RT△DEC中，CD²=DE²+CE²=，4=1+x²+1+（2-x）²，
整理化简得出x²-2x+1=0，x=1，此时E为AB中点．

点评：本题考察直线和直线、直线和平面垂直关系，二面角的大小度量及应用，考查方程思想，空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．