Question

17．（文）对任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数，在实数轴R（箭头向右）上[x]是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时[x]就是x．这个函数[x]叫做“取整函数”，它在生产实践中有广泛的应用．那么[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂512]=3595．

Answer 1

分析 根据题意可得，[log₂1]=0有1个0，[log₂2]=[log₂3]=1，有2个1，[log₂4]=[log₂5]=…=[log₂7]=2，有4个2，[log₂8]=[log₂9]=[log₂10]=…=[log₂15]=3，有8个3，[log₂512]=9，则[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂1024]=1×2+2×2²+3×2³+…+8×2⁸+9，令S=1×2+2×2²+…+8×2⁸，利用错位相减可求S，进而可求．

解答 解：根据题意可得，[log₂1]=0有1个0，[log₂2]=[log₂3]=1，有2个1，[log₂4]=[log₂5]=…=[log₂7]=2，有4个2
[log₂8]=[log₂9]=[log₂10]=…=[log₂15]=3，有8个3，[log₂1024]=10
所以，[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂512]
=0+1+1+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+3+…+9
=1×2+2×2²+3×2³+…+8×2⁸+9
令S=1×2+2×2²+…+8×2⁸
2S=1×2²+2×2³+…+8×2⁹
所以，-S=2+2²+…+2⁸-8×2⁹
=$\frac{2（1-{2}^{8}）}{1-2}$-8×2⁹=-2-7×2⁹
S=7×2⁹+2=3586．
∴[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂512]=S+9=3586+9=3595．
故答案为：3595．

点评 本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对数性质和错位相减法的合理运用．