Question

（2013•重庆）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a²+b²+

2

ab=c²．
（1）求C；
（2）设cosAcosB=

3 2

5

，

cos(α+A)cos(α+B)

cos2α

=

2

5

，求tanα的值．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）已知第二个等式分子两项利用两角和与差的余弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切，利用多项式乘多项式法则计算，由A+B的度数求出sin（A+B）的值，进而求出cos（A+B）的值，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A+B），将cosAcosB的值代入求出sinAsinB的值，将各自的值代入得到tanα的方程，求出方程的解即可得到tanα的值．

解答：解：（1）∵a²+b²+

2

ab=c²，即a²+b²-c²=-

2

ab，
∴由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

- 2 ab

2ab

=-

2

2

，
又C为三角形的内角，
则C=

3π

4

；
（2）由题意

cos(α+A)cos(α+B)

cos2α

=

(cosαcosA-sinαsinA)(cosαcosB-sinαsinB)

cos2α

=

2

5

，
∴（cosA-tanαsinA）（cosB-tanαsinB）=

2

5

，
即tan²αsinAsinB-tanα（sinAcosB+cosAsinB）+cosAcosB=tan²αsinAsinB-tanαsin（A+B）+cosAcosB=

2

5

，
∵C=

3π

4

，A+B=

π

4

，cosAcosB=

3 2

5

，
∴sin（A+B）=

2

2

，cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=

3 2

5

-sinAsinB=

2

2

，即sinAsinB=

2

10

，
∴

2

10

tan²α-

2

2

tanα+

3 2

5

=

2

5

，即tan²α-5tanα+4=0，
解得：tanα=1或tanα=4．

点评：此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．